Kernel de transformación lineal en$\Bbb R^3$

Question

Sea$T: \Bbb R^3 \rightarrow \Bbb R^3$ una transformación lineal satisfactoria \begin{align*} T(0,1,1) =& (-1,1,1) \\ T(1,0,1) =& (1,-1,1) \\ T(1,1,0) =& (1,-1,0) . \end {align *}

¿Es necesario que cierto$\ker(T) = \operatorname{Sp}\{(1,-1,1)\}$? Bueno, traté de decir que sabemos que$\operatorname{Im}(T) = \operatorname{Sp}\{T(0,1,1),\,T(1,0,1),\,T(1,1,1)\}$

Entonces,$\operatorname{Im}(T) = \operatorname{Sp}\{(-1,1,1),\,(1,-1,1),\,(1,-1,0)\}$ que significa$\operatorname{Sp}\{(1,-1,1)\} \in \operatorname{Im}(T)$ y también$(1,1,1)$ es linealmente independiente por$2$ otros vectores que están en$\operatorname{Im}(T)$.

Ahora, ¿cómo puedo probar que$\operatorname{Sp}\{(1,1,1)\}$ no está dentro de$\ker(T)$? o tal vez$\operatorname{Sp}\{(1,1,1)\} \in \ker (T)$ que lo hace$\operatorname{Sp}\{(1,1,1)\} = \ker (T)$?

Answer 1

La matriz asociada a$T$ con respecto a la base$\mathscr{B}=\{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\}$ en el dominio y la base canónica en el codominio es $$ A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end {bmatrix} $$ La matriz asociada a$T$ con respecto a la base canónica tanto en el dominio como en el dominio de código es $$ B = AS ^ {- 1} $$ donde $$ S = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end {bmatrix} $$ y $$ S ^ { -1} = \begin{bmatrix} -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 \end {bmatrix} $$ para que $$ B = \begin{bmatrix} 3/2 & -1/2 & -1/2 \\ -3/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} $$

¿Puedes calcular el espacio nulo de$B$? Es decir, el conjunto de vectores$v$ tal que$Bv=0$, que es el núcleo de$T$.

Answer 2

Deja que la base para el dominio $B=\{v_1,v_2,v_3\}=\{(0,1,1),\;(1,0,1),\;(1,1,0)\}$. Deje $w_1,w_2,w_3$ ser las respectivas imágenes de $v_i's$ bajo $T$.

De la simple observación muestra que: el conjunto de $\{w_1, w_2\}$ es linealmente independiente (ya que no son múltiplos uno de otro), mientras que $\{w_1,w_2,w_3\}$ es un conjunto dependiente debido a $w_1-w_2+2w_3=0$. Esto significa que la dimensión de la gama que es exactamente $2$, por lo tanto el núcleo será de dimensión $1$ (por el rango-nulidad teorema).

De hecho, ahora podemos obtener la base de vectores para el kernel, así:

Desde $w_1-w_2+2w_3=0$, esto significa $T(v_1-v_2+2v_3)=0$. Por lo tanto el vector $v_1-v_2+2v_3=(1, 3, 0)$ constituye la base del núcleo.

Answer 3

Tú lo sabes ${\rm im}\; f=\langle (-1,1,1),(1,-1,1),(1,-1,0)\rangle$. Esto es lo mismo que$$\langle (-1,1,1)\color{red}{+(1,-1,0)},(1,-1,1),(1,-1,0)\rangle=\langle (0,0,1),(1,-1,1),(1,-1,0)\rangle$$ which in turn is the same as $$\langle (0,0,1),(1,-1,1)\color{blue}{-(0,0,1)},(1,-1,0)\rangle=\langle (0,0,1),(1,-1,0),(1,-1,0)\rangle$ $

Por lo tanto, la dimensión de la imagen es$2$. Por el teorema de nulidad de rango, la dimensión del kernel es$1$. De ello se deduce que si encuentra$v\in\ker T$ distinto de cero,$\langle v\rangle =\ker T$. ¿Puedes verificar si$(1,-1,1)\in \ker T$?

Answer 4

Simplemente podemos poner nuestros vectores de la matriz y hacer fila operaciones de la siguiente manera, que estamos tratando de obtener una base en la parte derecha: $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 1 &-1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 &-1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 &-1 & 0 \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 1 &-1 & 1 & 1\\ 0 &-1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 &-1 & 0 \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 &-1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 &-1 & 0 \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 &-1 & 0\\ 0 &-1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 &-1 & 0\\ 0 &-1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

Lo que hemos encontrado por hacer esto?

Aviso que al principio tenemos $a|b$ donde $T(a)=b$ en cada fila. Esta propiedad no se cambia el uso de la fila de las operaciones.

Así que podemos ver que $T(1,3,0)=(0,0,0)$. Esto significa que $(1,3,0)\in\operatorname{Ker} T$.

También hemos descubierto que el de la imagen es generada por los vectores $(1,-1,0)$$(0,0,1)$. (Si nos fijamos sólo en la parte derecha, entonces hemos intentado fila reducir la matriz que consta de imágenes de los vectores de la base.) Dado que estos vectores son linealmente independientes, tenemos que $\dim\operatorname{Im} T =2$. Según el rango de nulidad teorema sabemos que $\dim\operatorname{Ker} T=1$.

Answer 5

Insinuación.

Elija la base$B = \{(0,1,1),\;(1,0,1),\;(1,1,0)\}$.

¿Cómo se ve la representación matricial$[T]^B_E$ del mapa lineal$T$ con respecto a las bases$B$ y$E$ (la base estándar)?

Recuerde que el núcleo de una matriz es invariante en la transformación de base.