¿Cómo demuestro que$$\int_{0}^{1/2} \dfrac{\log (1-x)}{x} \mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\log^2{2}-\dfrac{\pi^2}{12}$ $
Yo expandí$\log(1-x)$ pero terminé con una serie que no pude evaluar. Por favor ayuda. Gracias.
Respuesta
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$$\frac{\log(1-x)}x=-\frac{(x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+...)}x=-(1+x/2+x^2/3+x^3/4+...)$ $ Ahora:$$\int\frac{\log(1-x)}x{\rm d}x=-(x+x^2/2^2+x^3/3^3+...)=-{\rm Li}_2(x)$ $ Ahora:$$\int_0^{1/2}\frac{\log(1-x)}x{\rm d}x={\rm Li}_2(0)-{\rm Li}_2(1/2)=\frac{\log^22}2-\frac{\pi^2}{12}$ $ desde${\rm Li}_2(0)=0$ y por fórmula de duplicación : $$ \ mathrm {Li} _2 (x) + \ mathrm {Li} _2 (1-x) = \ frac {\ pi ^ 2} {6} - \ log (x) \ log (1-x) $$ Poner$x=1/2$:$$2\mathrm{Li}_2(1/2)=\frac{\pi^2}{6}-\log(1/2)\log(1/2)\implies \mathrm{Li}_2(1/2)=\frac{\pi^2}{12}-\frac12\log^2(2)$ $
