Contiguo $1$ al anillo no matrimonial: ¿la forma habitual es la mejor?

Question

En Álgebra superior moderna escrito por A. Adrian Albert (1938), la característica de un anillo no unital $R$ se define el menor número entero positivo $m$ tal que $ma=0$ para todos $a\in\mathbb R$ . Si tal número entero no existe, la característica $m$ de $R$ se define como cero.

Para colindar con un $1$ a $R$ Albert incrusta esencialmente $R$ en un anillo con estructura aditiva $Z\oplus R$ donde $Z=\mathbb Z$ cuando $m=0$ y $Z=\mathbb Z/m\mathbb Z$ cuando $m>0$ . La multiplicación de anillos se define entonces como $(z,r)\cdot(z',r')=(zz', rr'+zr'+z'r)$ donde $zr'$ se entiende como la suma de $z$ copias de $r'$ .

Obsérvese que la adjunción de Albert vincula la elección de $Z$ a $m$ . En $Z$ es siempre considerado $\mathbb Z$ independientemente de $m$ la adjunción se conoce comúnmente como Adjunción de Dorroh .

A mi entender, la adjunción de Albert (y no la de Dorroh) es la "habitual" manera de colindar $1$ a $R$ .

Era mencionó en este sitio que la adjunción de Dorroh no es muy útil porque no preserva muchas propiedades cruciales de $R$ y en el siguiente documento, hay un "mejor" manera de colindar con un $1$ a $R$ que hace uso de algo llamado anillo característico $\kappa(R)$ :

W.D. Burgess; P.N. Stewart. El anillo característico y la "mejor" forma de unir uno. J. Austral. Math. Soc. 47 (1989) 483-496.

Como sólo he estudiado álgebra abstracta en la licenciatura, me cuesta entender los detalles del artículo. Aquí sólo estoy buscando algunas respuestas rápidas para las preguntas a continuación:

1. ¿Tiene nombre la adjunción de Albert? ¿Se llama también adjunción de Dorroh?
2. ¿Tiene nombre la "mejor" forma descrita en el citado artículo?
3. Si unimos un $1$ a $R$ de la "mejor" manera, es el anillo de extensión $\kappa(R)$ ¿o es otra cosa?
4. ¿Existe alguna formulación equivalente de la "mejor" manera que sea más fácil de entender para un principiante?
5. De la "mejor" manera, ¿es la característica del anillo de extensión/adjunto diferente de la característica de $R$ ?
6. De la "mejor" manera, cuando el anillo de extensión tiene la misma característica que $R$ ¿estoy en lo cierto al afirmar que debe contener el anillo de extensión de Albert como un subring?

Answer 1

1. Creo haber visto en algunos contextos la construcción usando la multiplicación Dorroh en $R\times S$ où $S$ es un $R,R$ bimódulo llamado también "la extensión de Dorroh", aunque quizás la mayoría de la gente lo utilice para referirse a la elección de $R=\mathbb Z$ . Así que puede o no ser más general dependiendo de dónde lo leas.

2. Si hubiera un buen nombre para ello, aparecería en el artículo al que haces referencia.

3. No, $\kappa(R)$ es un subring central de $R$ que es como el "anillo primo" de un anillo o el "campo primo" de un anillo de división, aunque no son exactamente esos. Creo que quizás necesites leer la sección 1 un poco más detenidamente...

4. A partir de la definición 2.2, $R^1$ es un subring de $End(R_R)$ cuya característica coincide obviamente con la de $R$ (no es un ejercicio difícil.) Esto sólo se aplica a los anillos fieles a la izquierda, por supuesto, de modo que $R^1$ se define allí.

5. Ya has visto que, obviamente, puede ser diferente: la extensión clásica de Dorroh con $\mathbb Z$ siempre tiene la característica $0$ . Depende totalmente de la función adjunta que elija.

6. Sí. La construcción Dorroh, incluso con $\mathbb Z/n\mathbb Z$ contiene una copia isomorfa de $R$ (el conjunto $\{0\}\times R$ .)