Evaluación integral de la línea.

Question

Encontrar la integral de línea:

$$I = \oint\limits_{C} (y-z)\mathrm{d}x + (x^2-y)\mathrm{d}y + (z-x)\mathrm{d}z$$

donde la curva C es dada por: $$\begin{array}\\ x = a\cos{t}\\ y = a\sin{t}\\ z = a^2\cos{2t}\\ \end{array}$$

y donde $t\in \mathbb{R}, 0<t<2\pi$, y la dirección de la $C$ es la misma que la dirección de crecimiento de la variable $t$.

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Lo que yo he probado hasta ahora:

1) Si nos vamos de forma estándar: $\mathrm{d}x=-a\sin{t}\mathrm{d}t$, $\mathrm{d}y=a\cos(t)\mathrm{d}t$, $\mathrm{d}z=-4a^2\sin{t}\cos{t}\mathrm{d}t$, y sustituir todo en la integral, obtenemos: $$\int\limits_{0}^{2\pi}-a^2\sin^2{t} + 3a^3\cos^2{t}\sin{t} - a^3\sin^3{t} + a^3\cos^3{t} - a^2\sin{t}\cos{t}-4a^4\cos^3{t}\sin{t} + 4a^4\sin^3{t}\cos{t})\mathrm{d}t$$

pero esto es muy feo y no tengo idea de cómo proceder, aparte de intentar azar trig manipulaciones, que he intentado sin éxito.

2) Si nos damos cuenta de que $z = a^2\cos^2{t} - a^2\sin^2{t} = x^2 - y^2$, y que $\mathrm{d}x=-y\mathrm{d}t$, $\mathrm{d}y=x\mathrm{d}t$, y $\mathrm{d}z=-4xy\mathrm{d}t$, podemos sustituir en la integral, y obtener: $$ \int\limits_0^{2\pi}\left(y^2+3x^2y-y^3+x^3-xy-4x^3y+4xy^3\right)\mathrm{d}t, $ $ , pero esto también es una especie de desesperado :)

Answer 1

¿Por qué "esto es feo"?

Siguiendo tu primer paso, solo necesitas encontrar:

$$ \ int \ sin ^ 2 x, \ int \ cos ^ 2x \ sin x, \ int \ cos ^ 3x- \ sin ^ 3x, \ int \ sin x \ cos x, \ int \ cos ^ 3x \ sin x , \ int \ sin ^ 3x \ cos x $$ uno por uno.

¿Puedes usar$\int \cos^2 xd(\cos x)$ para uno de ellos? También es posible que desee cambiar$\sin^2x$ a una función de$\cos 2x$.

Answer 2

Desde que el pecado y coseno son periódicas, cambio el dominio de $\theta$$[0,2 \pi]$$[- \pi, \pi]$. Desde que el pecado es impar, $\int \limits_{-\pi}^\pi \cos^2 t \sin t dt $ , $\int \limits_{-\pi}^\pi \sin^3 t dt $ , $\int \limits_{-\pi}^\pi \cos t \sin t dt $ , $\int \limits_{-\pi}^\pi \cos^3 t \sin t dt $ y $\int \limits_{-\pi}^\pi \cos t \sin^3 t dt $ todos desaparecen, por lo que sólo $\int \limits_0^{2\pi} \cos^3 t dt $ $\int \limits_0^{2\pi} \cos^2 t dt$ quedan.

Cambiando el dominio de$[0,2 \pi]$$[- {\pi \over 2}, {3\pi \over 2}]$, $$ \int \limits_0^{2\pi} \cos^3 t dt = \int \limits_{-\pi \over 2}^{3\pi \over 2} \sin^3 ({\pi \over 2} - t) dt = \int \limits_{-\pi}^\pi \sin^3 u du = 0 $$

Usando el mismo truco, $ \int \limits_0^{2\pi} \cos^2 t dt = \int \limits_0^{2\pi} \sin^2 t dt $. Por lo tanto $$ \int \limits_0^{2\pi} \cos^2 t dt = {1 \over 2} \int \limits_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t) dt = \pi $$ Por lo tanto, la respuesta es $-a^2 \pi$.

Otra forma de simplificar la integral es encontrar un potencial para el campo. Vamos $F = (y-z,x^2-y,z-x)$, $F_1 = (y,x^2,0)$ y $f = xz-{y^2 \over 2} -{z^2 \over 2}$. A continuación,$F = \nabla f + F_1$. Por lo tanto, $$\oint \limits_C \langle F,T \rangle ds = \oint \limits_C \langle F_1,T \rangle ds + 0 = \oint \limits_C \langle F_1,T \rangle ds $$ que da la misma respuesta.

Answer 3

Yo continuaría (1):

$a$ es una constante, no molesta, y hay mucho que saber sobre$\cos$ y$\sin$. En primer lugar,$\cos 2t$ está bien como está. $\sin^3t$ estará relacionado con$\cos 3t$ y$\sin 3t$ ...