¿Cómo demostrar esta propiedad obvia y básica de los grupos abelianos?

Question

Tengo una pregunta que probablemente sea muy tonto, pero vamos. Deja que $(G,+)$ sea un grupo abeliano. En ese caso sabemos que $+$ es asociativo y conmutativo. Esto nos lleva a lo siguiente: si $\{a_i \in G : i \in I_n\}$ con $I_n = \{i \in \mathbb{N} : 1 \leq i \leq n\}$ entonces si aplicamos $+$ a todos los $a_i$ es independiente de la ordenación que impongamos. En realidad, si queremos definir la suma de todos esos elementos como:

$$\sum_{i \in I_n}a_i = a_1+\cdots+a_n,$$

primero debemos saber qué significa $a_1 + \cdots + a_n$ . La definición sólo nos dice lo que significa $x+y$ y que $x+(y+z)=(x+y)+z$ y $x+y=y+x$ por cada $x,y,z \in G$ pero ¿cómo formalizamos la extensión de esto en algún número finito de elementos para poder decir "podemos escribirlo así, porque demostramos que tiene sentido"?

De hecho, esto es algo muy obvio, y nunca he visto a nadie dando grandes argumentos al respecto. Todo el mundo se limita a decir "obviamente, los paréntesis y el orden no importan". He pensado en usar inducciones sobre esas dos propiedades cada vez, pero me he confundido un poco con ello.

¿Cómo se hace esto realmente? ¿Es necesaria una prueba? ¿O lo dejamos ahí sin pruebas?

Muchas gracias de antemano, y perdón si este no es el lugar para este tipo de preguntas.

Answer 1

Para demostrar la asociatividad general, defina $$\begin{cases}\prod_{i=1}^1 a_i=a_1\\\prod_{i=1}^n a_i=\prod_{i=1}^{n-1}a_i\cdot a_{n}\end{cases}$$

La afirmación es que para cualquier $m$ tenemos que $$\prod_{i=1}^n a_i\prod_{i=1}^m a_{n+i}=\prod_{i=1}^{n+m}a_i$$

Por definición tenemos la verdad de $m=1$ . Por lo tanto, suponga que es cierto para $m=r$ y considerar $r+1$ . Entonces $$\begin{align}\prod_{i=1}^n a_i\prod_{i=1}^{r+1} a_{n+i}&=\prod_{i=1}^na_i \left(\prod_{i=1}^{r} a_{n+i}a_{n+r+1}\right)\\&=\left(\prod_{i=1}^na_i \prod_{i=1}^{r} a_{n+i}\right)a_{n+r+1}\\&=\prod_{i=1}^{n+r}a_i a_{n+r+1}\\&=\prod_{i=1}^{n+r+1}a_i\end{align} $$

La conmutatividad general se puede demostrar como sigue. Supongamos que tenemos un conjunto de elementos $\{a_1,\ldots,a_n\}$ tal que $a_ia_j=a_ja_i$ para todos los pares $1\leq i,j\leq n$ . Considere cualquier permutación $n\mapsto n'$ de $\{1,\ldots,n\}$ y el producto asociado $a_{1'}\cdots a_{n'}$ . Supongamos que el término $a_n$ se produce el lugar $h'=n$ . Entonces me manera de escribir por la hipótesis de conmutatividad $$a_{1'}\cdots a_{n'}=a_{1'}\cdots a_{(h-1)'}a_{(h+1)'}\cdots a_{(n-1)'}a_{n'}a_n$$

y luego la inducción hace el resto, ya que hemos bajado al caso $n-1$

Answer 2

Como señalan los demás, puedes demostrar que los paréntesis y el orden no importan por inducción. Ahora bien, cuando se demuestra un enunciado por inducción, se demuestra el enunciado para cada número natural $n$ . En otras palabras, la afirmación sólo se aplica a las sumas finitas.

Esta observación es significativa porque la generalización obvia a las series infinitas no es cierta en los números reales. Si $\sum A_i = a_1+a_2+a_3+\cdots$ es un condicionalmente convergente serie infinita, entonces el reordenamiento de los términos de la serie puede conducir a una suma diferente. De hecho, puedes conseguir cualquier suma que quieras ¡!

(Por otro lado, si $\sum A_i = a_1+a_2+a_3+\cdots$ es una serie cuyas sumas parciales son finalmente constantes, entonces reordenar los términos no cambia el valor final. Dependiendo de su punto de vista, podría ser más justo identificar esta afirmación verdadera como la generalización obvia. Después de todo, no depende de la topología de nuestro grupo abeliano. O, más bien, requiere la convergencia en la topología discreta).