Límite superior de la camiseta de VJIMC 2016

Question

Año anterior en VJIMC concurso conseguimos camisetas con el siguiente problema

Definir $$f(\alpha):=\limsup\limits_{n\to\infty,\,n\in\mathbb{N}}(\sin(n))^{n^\alpha}.$$ Encuentre $f(1)$ y $f(2)$ .

He encontrado algunos temas que tratan de $$\lim_{n\to\infty}(\sin(n))^n,$$ pero no fue de mucha ayuda (o simplemente pasé por alto partes importantes).

¿Algún consejo para solucionarlo? Gracias.

Answer 1

Posible enfoque. Imagina que estás tratando con ángulos seleccionados al azar de $0$ a $\frac{\pi}{2}$ . Para cualquier $x, 0 < x < 1$ hay una probabilidad $\frac{\pi-2\arcsin x}{\pi}$ de que el seno de ese ángulo esté en el intervalo $(1-x, 1)$ . Como $x \to 0$ esa probabilidad va asintóticamente a $\frac{\sqrt{8x}}{\pi}$ . (Esto viene de la serie de Taylor para $\sin x$ alrededor de $x = \frac{\pi}{2}$ .)

Heurísticamente, eso significa que cuando $\alpha = 1$ , estás tomando $1-x$ a la $\frac{\pi}{\sqrt{8x}}$ potencia o, ajuste $n = \frac1x$ , tomando $1-\frac1n$ a la $\frac{\pi\sqrt{n}}{\sqrt{8}}$ poder. Lo que ocurre con el resultado, como $n \to \infty$ ?

¿Y si $\alpha = 2$ ? (Esta es más complicada; puede que tengas que tener en cuenta el signo del resultado).