Grupo-homomorfismo$ \mathbb{R\rightarrow\mathbb{Q}} $ sin el axioma de elección

Question

Sin el axioma de elección, ¿existe un homomorfismo suprayectivo$ (\mathbb{R},+)\rightarrow(\mathbb{Q},+) $?

¿O algún homomorfismo no trivial?

Answer 1

No.

Si cada conjunto de reales tiene la propiedad de Baire, entonces cada homomorfismo grupal de los reales a los racionales es continuo y, por lo tanto, trivial.

Este supuesto es consistente, como lo muestra Solovay. Incluso con la elección de los dependientes.