Encontrar los autovalores de la matriz no especificado

Question

Encontrar todos los posibles valores propios de una $2\times 2$ matriz $A$ satisfactorio $$\det(A^2)I-2\det(A)A+A^2=0.$$

Bueno, si $Av=\lambda v$ $$\det(A^2)v-2\det(A)\lambda v+\lambda^2 v=(\det(A)^2-2\det(A)\lambda+\lambda^2) v=(\det(A)-\lambda)^2v=0$$ por lo $\lambda=\det(A)$. Podemos ir más allá y encontrar $\det(A)$? O tal vez un conjunto de valores posibles? Tenemos $$0=\det(\det(A^2)I-2\det(A)A+A^2)=(\det(\det(A)I-A))^2$$ así $$\det(A-\det(A)I)=0.$$ Podemos resolver para $\det(A)$?

Edit: incluso Tenemos $$(A-\det(A)I)^2=0$$ que es un conjunto de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, así que tal vez este totalmente determina $A$. Pero, ¿cómo?

Answer 1

Se ha demostrado que si $A$ satisface $\det(A^2)I-2\det(A)A+A^2=0$, entonces cualquier autovalor $\lambda$ satisface $\lambda = \det(A)$, es decir, todos los autovalores son iguales a $\det(A)$.

Ahora, recuerde que el determinante de una matriz es el producto de sus valores propios (de la cuenta de la multiplicidad). Desde $A$ $2 \times 2$ de la matriz, se debe tener dos valores propios. Por lo tanto, $\lambda \cdot \lambda = \det(A) = \lambda$.

La solución de esta muestra que $\lambda = 0$ o $\lambda = 1$. Usted puede comprobar fácilmente que $A = O_{2 \times 2}$ ($2 \times 2$ cero de la matriz) y $A = I_{2 \times 2}$ ($2 \times 2$ matriz identidad) ambos satisfacen la ecuación dada. Por lo tanto, $\lambda = 0$ $\lambda = 1$ autovalores.

Nota: Si usted sabe cosas acerca de la forma canónica de Jordan, entonces usted puede demostrar que el $2 \times 2$ matrices $A$ que satisfacer $\det(A^2)I-2\det(A)A+A^2=0$ son precisamente los que pueden ser expresados en la forma $A = VJV^{-1}$ donde $V$ es invertible $2 \times 2$ matriz y $J$ es una de las cuatro matrices de $\left\{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\right\}$.