Valores enteros del polinomio $a^2+ab-b^2$

Question

Jugando con el polinomio $f(a,b)=a^2+ab-b^2=d$ para un determinado $d \in \mathbb{Z}$ Encontré que tiene soluciones enteras $(a,b) \in \mathbb{Z}$ para los siguientes valores de $d$ : $$D'=\{1,5,11,19,29,31,41,55,59,61,71,79,89,95,\ldots, 209, \ldots\}$$ y también para cada $d = k^2\cdot e$ , $e \in D'$ y $k \in \mathbb{Z}$ . Así que dejemos $$D := \{d \in \mathbb{N} : f(a,b)=d \text{ has a solution}\}$$ Me he dado cuenta de que $D'$ contiene muchos primos, pero $55, 95$ y $209$ no son primos, pero son producto de números en $D'$ . Así que esto me llevó a mi

Conjetura : $D$ es multiplicativamente cerrado.

No he podido demostrarlo hasta ahora, pero esta conjetura me pareció tan limpia y sencilla que pensé que alguien debía haberla descubierto antes. Entonces, ¿hay algún teorema en esta dirección?

Answer 1

$$\left(a + b\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left( a + b \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) = a^2 + ab - b^2$$

Su polinomio es la norma en el anillo $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ y, por tanto, el conjunto de valores de la norma es multiplicativamente cerrado.

Answer 2

Un complemento, que espero pueda ser útil para OP, a la solución de Daniel Fischer.

Dejemos que $x^{2} + s x + t \in \mathbb{Z}[x]$ tienen las dos raíces no racionales $\alpha, \beta $ para que $\alpha + \beta = -s$ y $\alpha \beta = t$ .

Entonces la norma de un elemento $a + b \alpha \in \mathbb{Z}[\alpha]$ es $$ (a + b \alpha) (a + b \beta) = a^{2} + ab(\alpha+\beta) + b^{2} \alpha \beta = a^{2} - ab s + b^{2} t. $$

Así que en este caso $s = -1 = t$ y las raíces de $x^{2} - x - 1$ son de hecho $$ \frac{1 \pm{\sqrt{5}}}{2}. $$

Answer 3

$$a^2+ab-b^2=\frac{(2a+b)^2-5b^2}4$$

Ahora utilice la forma generalizada de Identidad Brahmagupta-Fibonacci

$$(A^2+nB^2)(C^2+nD^2)=(AC\pm nBD)^2+n(AD\mp BC)^2$$

Aquí $n=-5$