Medición del momento y la energía de una partícula libre.

Question

Con respecto a la partícula libre en QM, nos da que la función de onda es: $$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk.$$ The stationary states $$\Psi_{k}(x,t) = Ae^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}$$ no es físicamente realizable, ya que no son de cuadrado integrable. En ese sentido, una partícula no puede tener un definitivo impulso de energía o impulso. Que yo entiendo. Sólo quiero confirmar lo que sucede durante la medición de decir impulso o energía.

Así que medir un cierto valor del impulso o energía, que es un valor propio de la dinámica Hamiltoniana (ya que los operadores conmutan para una partícula libre). Entonces sería, en principio, el colapso de la función de onda para algunos estado estacionario $\Psi_k$, pero en este caso sabemos que esto no es posible (físicamente realizable). Así medimos un valor determinado de la velocidad con cierta incertidumbre de la medición, con la incertidumbre que nos da la difusión de los valores de los observables o medimos un particular impulso y deducir que hay una propagación de arriba? O ¿no la medida de un determinado valor, sino un rango de valores para una determinada medición?

Gracias.

Answer 1

Así que medir un cierto valor del impulso o energía, que es un valor propio de la dinámica Hamiltoniana (ya que los operadores conmutan para una partícula libre).

El resultado de la medición puede ser de valor único, pero en el caso de las cantidades que han dominio continuo no podemos decir que esto es con certeza el valor real de la cantidad. Con dicha medida siempre tenemos la incertidumbre de los resultados es mayor que cero. Esto es inevitable en la práctica, no tenemos los medios para medir las variables continuas con infinita precisión.

Entonces sería, en principio, el colapso de la función de onda para algunos estado estacionario $\Psi_k$, pero en este caso sabemos que esto no es posible (físicamente realizable).

No es importante si dicho proceso es físicamente realizable; esto depende de la interpretación de la teoría. Hay interpretaciones que no considere la posibilidad de colapso como resultado de la medición del proceso físico a todos, independientemente de si el resultado es normalizable.

Lo que es importante aquí es que no es normalizable función que sería eigenfunction de la posición del operador (y no hay nadie que sería eigenfunction del impulso del operador). Por lo tanto, no podemos basar nuestra comprensión de la teoría sobre tales ficticio funciones. Partícula con posición definida o momento cero de la incertidumbre no puede ser representado por normalizado $\psi$ función.

Así medimos un valor determinado de la velocidad con cierta incertidumbre de la medición, con la incertidumbre que nos da la difusión de los valores de los observables

Sí, todas las mediciones de la posición o el impulso de las partículas tienen finito incertidumbre, por lo que la probabilidad de que el valor medido es igual al valor real que se busca es 0. Cuando nos fijamos en trazas de partículas de la cámara de burbujas, la pista es delgada, pero anchura finita, la limitación de la incertidumbre de la partícula coordinar a la pequeña, pero no nula distancia. En la práctica, creo que micrones en el mejor.

O ¿no la medida de un determinado valor, sino un rango de valores para una determinada medición?

Cuando una partícula se mide un valor de más incertidumbre es usualmente registrados. Si muchas partículas se miden, a continuación, muchos de los valores y las incertidumbres que se registran. En cualquier caso, el resultado no es siempre absolutamente exacta, siempre hay un poco de incertidumbre.

Answer 2

$\hat{\cal{P}}(x)=|x\rangle\langle x|$ no define un operador de proyección, pero lo que se llama proyección de valores de medida, es decir que se le da a la proyección de los operadores para algunos región $a<x<b$: $$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}=\int\limits_a^b dx \hat{\cal{P}}(x)=\int\limits_a^b dx |x\rangle\langle x|$$ Actuando en $|\psi\rangle$ da normalizable estado.

Esto refleja que no podemos hablar de la probabilidad de medir el valor de$x$, pero sólo de densidad de probabilidad $p(x)$ y la probabilidad de $x$ está en la región de $a<x<b$: $$P(a<x<b)=\int\limits_a^b dx\,p(x)$$ esos son dadas por $$p(x)=\langle\psi|\hat{\cal{P}}(x)|\psi\rangle=\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle=|\psi(x)|^2$$ $$P(a,b)=\langle\psi|\hat{\cal{P}}_{(a,b)}|\psi\rangle=\int\limits_a^b dx\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int\limits_a^b dx|\psi(x)|^2$$

Después de la medida que da $a<x<b$ el estado se convierte en normalizable $\hat{\cal{P}}_{(a,b)}|\psi\rangle$ o en el idioma de wavefunctions, $$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}\psi(x)=\cases{0,&x<a\\\psi(x),&a<x<b\\0,&x>b}$$

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ACTUALIZACIÓN: creo que es útil hablar un poco acerca de la naturaleza del colapso. Si usted desea para tratar de "colapso" como una especie de el objetivo de cambiar el estado en el que veremos todo tipo de problemas desagradables. "Colapso" de la función de onda aparece cuando consideramos la probabilidad condicional de algunos de medición del estado inicial dado algunos anteriores a la medición. Ocurre (ideal para las mediciones) que podemos obtener esta probabilidad como la probabilidad de que una medición única del estado colapsado, $$P_\psi\Big(B(t_2)=\beta|A(t_1)=\alpha\Big)=\frac{P_\psi\Big(A(t_1)=\alpha,B(t_2)=\beta\Big)}{P_\psi\Big(A(t_1)=\alpha\Big)}=P_\chi\Big(B(t_2)=\beta\Big)$$ $$|\chi\rangle=\frac{\hat{\cal{P}}_{A(t_2)=\alpha}|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|\hat{\cal{P}}_{A(t_1)=\alpha}|\psi\rangle}}$$ Para proyectiva de medición de la continua variables todavía se puede encontrar la probabilidad condicional densidades pero este "colapso" la idea no es muy útil. Hay tres maneras en las que todavía se aplican, todo lo cual requiere que usted hable sobre algún margen de error,

1. Permanecer en la esfera de la idealizada de medición y restringir a sí mismos únicamente para la discusión de las condiciones de $a<x<b$ (ver arriba)

2. Discretizar la variable, lo que puede ser bueno, matemáticamente, pero no está muy cercano a las medidas reales

3. De manera realista sus medidas no son ideales y tienen algunos de los fundamentales de la imprecisión. Sin embargo, esto significa que los diferentes resultados para los valores de $x$ no son mutuamente excluyentes. Eso significa que usted ya no está describiendo su medición con idealizada $x$ con sus proyectores ortogonales pero en lugar de utilizar algunos POVM que depende de la medición de dispositivo que se utilice. A continuación, puede aplicar el colapso de la idea de que el valor singular de a$x$, pero esto ya no es $\hat{x}$ en el libro de texto de sentido.

Como ya he dicho, puede perfectamente vivir sin entrar en todo lo que si usted pide sólo preguntas correctas. Pensar menos sobre "colapso" y más acerca de lo que se mide en el experimento.