Mostrar $G$ es abeliano utilizando la unicidad de los homomorfismos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo con un elemento $g$ tal que para cualquier grupo $H$ y $h\in H$ existe un único homomorfismo de grupo $\theta:G\rightarrow H$ tal que $\theta(g)=h$ . Demostrar que $G$ es abeliana.

Hasta ahora, sólo he podido demostrar que $g\in Z(G)$ mediante la asignación al grupo $G\times G$ a través de los homomorfismos $\phi(x)=(g^{-1}xg,x)$ y $\psi(x)=(x,g^{-1}xg)$ . Desde $\phi(g)=\psi(g)=(g,g)$ se deduce por hipótesis que $\phi\equiv\psi$ y así $\phi(a)=(g^{-1}ag,a)=\psi(a)=(a,g^{-1}ag)$ De ahí que $g^{-1}ag=a$ y así $ag=ga$ . Pero no consigo averiguar cómo mostrar todos los elementos de $G$ están en el centro. Tengo la sensación de que me sentiré tonto una vez que lo vea.

Answer 1

Gracias. Creo que lo tengo, entonces:

Los mapas $\phi:G\rightarrow G$ y $\psi:G\rightarrow G$ definido por $\phi(x)=g^{-1}xg$ y $\psi(x)=x$ son homomorfismos. Dado que $\phi(g)=\psi(g)=g$ , $\phi\equiv\psi$ y así para cualquier $a\in G$ , $g^{-1}ag=a$ y por lo tanto $ag=ga$ . Así, $g\in Z(G)$ .

Dejemos que $\phi:G\rightarrow G/Z(G)$ sea la proyección natural y que $\psi:G\rightarrow G/Z(G)$ sea el homomorfismo trivial. Entonces $\phi(g)=\psi(g)=Z(G)$ por lo que por hipótesis $\phi\equiv\psi$ . Pero entonces para cualquier $x\in G$ , $\phi(x)=xZ(G)=\psi(x)=Z(G)$ para que $x\in Z(G)$ . Por lo tanto, $G=Z(G)$ Y así hemos terminado.