Por ejemplo, mira$\cos(x)$. Imagino que$x$ a veces puede ser racional (o entero) o irracional, y algunas veces$\cos(x)$ puede ser racional (o entero), o irracional.
¿Bajo qué circunstancias es$\cos(x)$ racional (o entero), o irracional, y bajo qué combinaciones de entradas racionales / enteros / irracionales$x$ pueden surgir?
En otras palabras, ¿cuáles son las relaciones?
si, como de costumbre, el uso de la medida radián, el único valor racional de $\cos x$ en rational $x$$x=0$. Ivan Niven ha dado un muy accesible prueba.
Los valores enteros son mucho más evidentes. El único entero $x$ que $\cos x$ es un número entero es $x=0$.
Como para que irracional $x$ tenemos $\cos x$ racional, probablemente no mucho se puede decir en general. Por ejemplo, el bueno y viejo $3$-$4$-$5$ triángulo nos da un par de racional de los cosenos, pero no es agradable descripción independiente de los ángulos correspondientes.
Uno puede describir completamente la $x$ forma $x=r\pi$ donde $r$ es racional, de tal manera que $\cos x$ es racional. Equivalentemente, tenemos la información completa sobre el coseno de los ángulos que son racionales cuando se mide en grados.
Resulta que uno puede demostrar que la única racional múltiplos de $\pi$ cuyo coseno es racional son los únicos que pueden pensar fácilmente: los múltiplos enteros de $\frac{\pi}{2}$, y el $x$ forma $\pm\frac{\pi}{3}+2n\pi$$\pm \frac{2\pi}{3}+2n\pi$.
Comentario: Los resultados mencionados anteriormente se pueden encontrar en Niven de los Números Racionales e Irracionales. Si usted no tiene acceso al libro, googlear racional de los valores de las funciones trigonométricas niven da un buen número de visitas.
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