Muestre que$2x^3+2x^2-10x+6$ es positivo si$x>1$

Question

Muestre que$2x^3+2x^2-10x+6$ es positivo si$x>1$

He intentado resolverlo utilizando el teorema del valor medio, pero no funciona. Por favor, que alguien me ayude a resolver esto.

Answer 1

Alt. pista: deja$\,x-1 = y \gt 0\,$, entonces:

$$ 2x ^ 3 +2x ^ 2-10x +6 = 2 (y +1) ^ 3 +2 (y +1) ^ 2-10 (y +1) +6 = 2 y ^ 3 + 8y ^ 2 \ gt 0 $$

Answer 2

Insinuación. Dejar $f(x)=2x^3+2x^2-10x+6$. Al tratar de usar el teorema del valor medio, calculó la derivada$f'$. Tenga en cuenta que$f(1)=f'(1)=0$ lo que implica que$1$ es una raíz doble de$f$, que es el polinomio$f$ es divisible por$(x-1)^2$. Ahora debería poder obtener la factorización completa de$f$ y mostrar la desigualdad dada.

Answer 3

$f'(x)=6x^2+4x-10 >0$ para

$x>1$, implica

$f$ estrictamente aumentando para$x >1$.

Como$f(1)=0$, tenemos$f(x) >0$ para$x>1$.

Answer 4

Permitir que$$f(x)=2x^3+2x^2-10x+6$$ then $$f'(x)=6x²+4x-10$$ $$=(6x+10)(x-1)$$Now $ f (x)$ is strictly increasing if $ f '(x)> 0$ or when $ x$ belongs to $ (- \ infty, - \ dfrac {10} {6}) \ cup (1, \ infty) $.

En$x=1$,$f(x)=0$ y$f(x)$ está aumentando estrictamente en el intervalo$(1,\infty)$, así que para los valores de$x$ mayor que$1$,$f(x)$ será mayor que$0$, es decir, positivo.

Answer 5

Como puede ver, la función dada tiene una raíz en x = 1. Para x> 1, la función está aumentando.
Si tomas derivada de función, se convierte en f '(x) = 6$x^2$ + 4x-10, que es positivo para x> 1.
Por lo tanto, la función f (x) está aumentando, (y es positivo desde que f (1) = 0) para x> 1.