En Dirac del libro Principios de la mecánica cuántica (4ª ed., pgs 87-88), él parece darle una muy elemental argumento de cómo el colector $[X,P]$ reduce a los corchetes de Poisson ${x,p}$ en el límite de $\hbar\to 0$. Sin embargo, no entiendo el argumento de que él está haciendo. Podría alguien por favor explicarme esto?
Dirac P. A. M. Principios de la mecánica cuántica (4ed., Oxford, 1958)
Dirac del argumento está en las páginas 85-86, y dice así:
el clásico de Poisson soporte obedece a las reglas
$$\{A,B\} = -\{B,A\}$$ $$\{aA + bB ,C\} = a\{ A,C\} + b\{B,C\} $$ $$\{AB,C\} = A{B,C} + \{B,C\}A $$ $$\{\{A,B\},C\} = \{B,\{A,C\}\} - \{A,\{B,C\}\}$$
Donde he reescrito la identidad de Jacobi en la manera que tiene sentido. Ahora Dirac le pregunta si usted puede definir una cosa para noncommuting objetos cuánticos, y señala que se puede, si
$$ i\hbar [A,B] = (AB - BA) $$
Donde $\hbar$ es una proporcionalidad contexto, fijado por el análisis dimensional, mientras que el yo está ahí para hacer la distribución de Poisson Soporte analógico Hermitian, como observables deben ser por convención (la anticommutator es anti-Hermitian).
Se deduce esto mediante la ampliación del colector: $[AB,CD]$ el uso de las reglas formales de arriba como axiomas, en dos formas diferentes. A partir de este, se encuentra con que
$$ [A,C](BD - DB) = (AC-CA)[B,D]$$
En la teoría clásica, esto da $0=0$, pero en QM, las características observables no conmutan, por lo que se aprende debe identificar los conmutadores como el quantum análogos de los corchetes de Poisson. Luego argumenta que $\hbar$ viajes con todo, y por lo tanto que las relaciones de conmutación debe mantener, y a partir de ahí deduce que la imagen de Schrödinger está disponible.
El argumento es sencillo, y no es históricamente exacta. Por Heisenberg el argumento original (o algo muy parecido) véase Wikipedia, la Mecánica Matricial de la página.
En la página 87, Dirac escribe que la relación de conmutación entre dos observables u y v viene dada por$$uv-vu=i \hbar [u,v]$$ Now, see Eqs. 8: $$[q_{r},q_{s}] = 0$$ $$[p_{r},p_{s}] = 0$$ $$[q_{r},p_{s}] = \delta _{rs}$$ In order to find the corresponding quantum commutators for the above relations, we just plug these into the first equation, giving the quantum versions:$$q_{r}q_{s} - q_{s}q_{r} = 0$$ $$p_{r}p_{s} - p_{s}p_{r} = 0$$ $$q_{r}p_{s} - p_{s}q_{r} = i \hbar\delta _{rs}$$ You can see that setting $ \ hbar = 0$ gives 0 for the third equation - this is the classical limit, since any two observables will commute in classical physics (In classical physics, observables aren't operators, and there is no uncertainty principle). So, as $ \ hbar \ rightarrow 0 $, la mecánica cuántica se reduce a la física clásica.
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