Situación
Deje $G$ ser un grupo finito y proporcionan $G\text{-mod} := {\mathbb Z}G\text{-mod}$ con el Frobenius estructura de ${\mathbb Z}$-split corto exacta de las secuencias. Denotar por $\underline{G\text{-mod}}$ de los asociados estable categoría con bucle functor $\Omega$.
Para cualquier Frobenius categoría $({\mathcal A},{\mathcal E})$ y un completo proyectiva-inyectiva resolución de $P_{\bullet}$ algunos $X\in{\mathcal A}$, tenemos por cualquier $Y\in{\mathcal A}$ canónica de isomorfismo de grupos de abelian
$H^n(\text{Hom}_{\mathcal A}(P_{\bullet},Y))\cong [\Omega^n X,Y]$,
donde $[-,-] := \text{Hom}_{\underline{{\mathcal A}}}(-,-)$.
Aplicando esto a $G\text{-mod}$ de los rendimientos de un isomorfismo
$\widehat{H}^k(G;M)\cong [\Omega^k{\mathbb Z},M]$,
donde $\widehat{H}^k(G;M)$ denota la Tate-Cohomology de $G$ con valores en $M$.
Si yo no mezclar las cosas, en este idioma Tate-Dualidad significa que el canónica mapa
$[{\mathbb Z},\Omega^k{\mathbb Z}]\otimes_{\mathbb Z}[\Omega^k{\mathbb Z},{\mathbb Z}]\to[{\mathbb Z},{\mathbb Z}]\cong{\mathbb Z}/|G|{\mathbb Z}$
es una dualidad.
Pregunta
Me gustaría saber las fuentes que introducir y tratar Tate cohomology de la manera descrita anteriormente, es decir, utilizando el lenguaje de Frobenius categorías y sus correspondientes categorías estables. En particular, yo estaría interesado en una prueba de Tate Dualidad de usar este más abstracto idioma, en lugar de las resoluciones.
¿Alguien sabe de esas fuentes?
Comentario
Parece ser más difícil para trabajar a través de los números enteros en lugar de algún campo, en este caso, la exacta secuencias en el Frobenius estructura $G\text{-mod}$ están obligados a ser ${\mathbb Z}$-split, que no es automático. Como consecuencia, no puede ser proyectiva/inyectiva objetos en $(G\text{-mod},{\mathcal E}^{G}_{\{e\}})$ que no son proyectivas/inyectiva como ${\mathbb Z}G$-módulos. Además, el largo exacto cohomology de secuencia sólo existe para ${\mathbb Z}$-división exacta secuencias de $G$-módulos (no es bueno, porque Brown utiliza la secuencia exacta $0\to {\mathbb Z}\to{\mathbb Q}\to{\mathbb Q}/{\mathbb Z}\to 0$ en su prueba de Tate dualidad); por supuesto, uno puede elegir particular completar las resoluciones de ${\mathbb Z}$ consta de ${\mathbb Z}G$-proyectiva de los módulos, y que una resolución de los rendimientos de un largo exacto cohomology de secuencia para cualquier corto de la secuencia exacta de coeficiente de módulos, pero esto parece algo artificial y no encaja en la imagen de la derecha ahora.
Resultados Parciales
(1) Para cualquier subgrupo $H\leq G$ hay restricción y corestriction morfismos
$[\Omega^k {\mathbb Z},-]^{\underline{G}}=\widehat{H}^*(G;-)\leftrightarrows\widehat{H}^*(H;-)=[\Omega^k{\mathbb Z},-]^{\underline{H}}$
se define de la siguiente manera: para cualquier $G$-módulo de $M$, el grupo abelian $[{\mathbb Z},M]^{\underline{G}}$ es canónica bijection con $M^G / |G| M^G$, y hay restricción y la transferencia de mapas
$\text{res}: M^G / |G| M^G\longrightarrow M^H / |H| M^H,\quad [m]\mapsto [m]$,
$\text{tr}: M^H / |H| M^H\longrightarrow M^G / |G| M^G\quad [m]\mapsto\left[\sum\limits_{g\in G/H} g.m\right]$,
respectivamente. Ahora
$[\Omega^k{\mathbb Z},M]^{\underline{G}}\cong [{\mathbb Z},\Omega^{-k}M]^{\underline{G}}\stackrel{\text{res}}{\longrightarrow} [{\mathbb Z},\Omega^{-k}M]^{\underline{H}}\cong[\Omega^k{\mathbb Z},M]^{\underline{H}}$
$[\Omega^k{\mathbb Z},M]^{\underline{H}}\cong [{\mathbb Z},\Omega^{-k}M]^{\underline{H}}\stackrel{\text{tr}}{\longrightarrow} [{\mathbb Z},\Omega^{-k}M]^{\underline{G}}\cong[\Omega^k{\mathbb Z},M]^{\underline{G}}$
parece ser que la cosa natural para definir la restricción y la transferencia. (Esto es muy similar al método usual de dar un morfismos de $\delta$-functors sólo de grado,$0$, y la extendemos por la dimensión de cambio de marchas, aunque un poco más elegante en mi opinión)
Tenga en cuenta que se utiliza de forma implícita que $\Omega^k$ viajes con el olvidadizo functor $G\text{-mod}\to H\text{-mod}$
(2) Para cualquier subgrupo $H\leq H$, $g\in G$ y un $G$-módulo de $M$ hay un mapa
$g_*:\ \widehat{H}^*(H;-)\to\widehat{H}^*(gHg^{-1};M)$
la ampliación de la canónica mapa
$M^H/|H|M^H\longrightarrow M^{gHg^{-1}}/|H|M^{gHg^{-1}},\quad [m]\mapsto [g.m]$.
(1) y (2) que encajan en la forma habitual; hay una transferencia de fórmula y un levantamiento de criterio para los elementos de Sylow-subgrupos.
(3) La copa del producto en $\widehat{H}^*(G;{\mathbb Z})$ está dado simplemente por la composición de mapas:
$[\Omega^p{\mathbb Z},{\mathbb Z}]\otimes_{\mathbb Z}[\Omega^q{\mathbb Z},{\mathbb Z}]\stackrel{\Omega^q\otimes\text{id}}{\longrightarrow}[\Omega^{p+q}{\mathbb Z},\Omega^q{\mathbb Z}]\otimes_{\mathbb Z}[\Omega^q{\mathbb Z},{\mathbb Z}]\longrightarrow [\Omega^{p+q}{\mathbb Z},{\mathbb Z}]$
¿Alguien a ver por qué este producto es calificado conmutativa?
