Primera observación: los eventos " $S_n^X$ golpes $A$ antes de $B$ "son insignificantes. Seamos rigurosos. Dejemos que $\tau_A := \inf \{n \geq 0: S_n \geq A\}$ y que $\tau_B := \inf \{n \geq 0: S_n \leq B\}$ , ambos con valores en $\mathbb{N} \cup \{+\infty\}$ . Entonces quieres demostrarlo:
$$\mathbb{P}_{(S_n^X)} (\tau_A < \tau_B) > \mathbb{P}_{(S_n^Y)} (\tau_A < \tau_B).$$
Esencialmente, sólo quiero señalar que "golpear $A$ " significa "alcanzar $A$ o un valor superior", y lo mismo para $B$ . Tenga en cuenta que $X$ y $Y$ son continuas, de modo que para cada una de ellas $\tau_A < +\infty$ a.s. o $\tau_B < +\infty$ a.s., por lo que el evento $\tau_A < \tau_B$ está bien definida hasta un subconjunto despreciable (que no sería el caso si $X \equiv 0$ por ejemplo).
Ahora, la idea es, como sugirió Did, utilizar un acoplamiento. La condición $G > F$ es equivalente al hecho de que existe un espacio de probabilidad $\Omega$ y una variable aleatoria $(X',Y')$ en $\Omega$ tal que:
(Edición, gracias a Einar Rødland) Si existe tal acoplamiento, es fácil ver que $G>F$ en todas partes. La situación inversa, que es la que nos interesa, es más delicada. La idea es tomar una variable aleatoria $U$ con una distribución uniforme en $[0,1]$ y poner $(X',Y') := (F^{-1} (U), G^{-1} (U))$ , donde $F^{-1}$ y $G^{-1}$ son los inversos generalizados de $F$ y $G$ respectivamente. Ahora bien, como $F^{-1} > G^{-1}$ en $(0,1)$ Hemos ganado.
No puedo encontrar una buena referencia ahora, ver por ejemplo la primera diapositiva aquí . Supongo que se hace en Villani's Transporte óptimo: Lo viejo y lo nuevo pero debe haber un libro orientado a la probabilidad en algún lugar con el mínimo sobre el ordenamiento estocástico...
Ahora, tomemos una secuencia de variables aleatorias i.i.d. $(X_n',Y_n')_{n \geq 1}$ tal que $(X',Y') = (X_1',Y_1')$ en la distribución. Entonces $(X_n')_{n \geq 1} = (X_n)_{n \geq 1}$ en la distribución, y $(Y_n')_{n \geq 1} = (Y_n)_{n \geq 1}$ . Sea $S_n^{X'} := \sum_{i=1}^n X_i'$ y lo mismo para $Y'$ . Entonces:
Además, $X' > Y'$ a.s., así que $X_i' > Y_i'$ para todos $i$ a.s.. Por lo tanto:
- $S_n^{X'} > S_n^{Y'}$ para todos $n$ a.s..
Dejemos que $\tau_A^{X'} := \inf \{n \geq 0: S_n^{X'} \geq A\}$ y definir $\tau_A^{Y'}$ , $\tau_B^{X'}$ , $\tau_B^{Y'}$ de la misma manera. A continuación, $S_n^{Y'} \geq A$ implica que $S_n^{X'} \geq A$ para todos $n$ Así que $\tau_A^{X'} \leq \tau_A^{Y'}$ . Del mismo modo, $\tau_B^{X'} \geq \tau_B^{Y'}$ . Por lo tanto,
$$\mathbb{P}_{(S_n^X)} (\tau_A < \tau_B) = \mathbb{P} (\tau_A^{X'} < \tau_B^{X'}) \geq \mathbb{P} (\tau_A^{Y'} < \tau_B^{Y'}) = \mathbb{P}_{(S_n^Y)} (\tau_A < \tau_B).$$
Esta es la prueba estándar. Probar una desigualdad estricta es más complicado. Tenemos que encontrar un evento de medida positiva en el que $\tau_A^{X'} < \tau_B^{X'}$ pero $\tau_A^{Y'} > \tau_B^{Y'}$ . Esto se basa más en los datos específicos del problema, y por lo tanto es menos estándar.
Tenga en cuenta que $G > F$ implica que $\mathbb{P} (Y < t) > 0$ para todos $t$ y $\mathbb{P} (X > t) > 0$ para todos $t$ .
Dejemos que $M \in (A, +\infty]$ sea tal que $\mathbb{P} (X_1' \geq M) = \mathbb{P} (Y_1' \geq A)$ . Tal $M$ existe, ya que ambos $X$ y $Y$ son variables aleatorias continuas. Si $X_1' \in (A,M)$ entonces $Y_1' < A$ (esto proviene de la construcción específica del acoplamiento óptimo). Además,
$$\mathbb{P} (X_1' \in (A,M)) = F(M)-F(A) = G(A)-F(A) > 0.$$
Ahora, consideremos el evento " $X_1' \in (A,M)$ y $Y_2' < B-A$ ". En este evento, tenemos $\tau_A^{X'} = 1 < \tau_B^{X'}$ y $\tau_A^{Y'} > \tau_B^{Y'} = 2$ . Finalmente, este evento tiene probabilidad $(G(A)-F(A))G(B-A)$ De donde:
$$\mathbb{P}_{(S_n^X)} (\tau_A < \tau_B) - \mathbb{P}_{(S_n^Y)} (\tau_A < \tau_B) \geq (G(A)-F(A))G(B-A) > 0.$$
