Supongamos que $f''$ existe en $[0,1]$ y que $f(0)=0=f(1)$. Supongamos también que $|f''(x)|\le K$ para $x\in(0,1)$. Demuestra que $|f'(1/2)|\le K/4$ y que $|f'(x)|\le K/2$ para $x\in [0,1]$.
El teorema del valor medio podría ayudar, pero no puedo ver cómo.
Supongamos que $f'\left(\dfrac12\right)>K/4$ y $f\left(\dfrac12\right)>0$ (otros casos son manejados de manera similar.)
Para $\dfrac12\dfrac{K}{4}+\int_{\frac12}^{t}-Kdx = \dfrac{3K}{4}-Kt$.
Luego $f(1)=f\left(\dfrac12\right)+\int_{\frac12}^{1}f'(x)dx > 0 + \int_{\frac12}^1\left(\dfrac{K}{4}-K\left(t-\dfrac12\right)\right)dt=0$, una contradicción.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
