El cálculo de $\dim(U + V + W)$

Question

Hay un (válido) fórmula para $\dim(U + V + W)$? Sé de MOque $$\begin{align*} \dim(U + V + W) &= \dim(U) + \dim(V) + \dim(W)\\ &\qquad\mathop{-} \dim(U \cap V) - \dim(U \cap W) - \dim(V \cap W)\\&\qquad \mathop{+} \dim(U \cap V \cap W) \end{align*}$$ es equivocado.

Podemos relacionar $\dim(U + V + W)$ con la cardinalidad de algunos de sus espacios cociente? (lo siento si esto es una falsa pregunta, pero yo no soy cualquiera familiarizado con el cociente de los espacios).

Answer 1

No creo que usted puede hacer mejor que esto: $$\begin{align*} \dim(U +V + W) &= \dim((U +V) + W) \\ &= \dim(U +V) + \dim W - \dim((U+V)\cap W) \\ &= \dim U + \dim V - \dim (U \cap V) + \dim W - \dim((U+V)\cap W) \end{align*}$$ Ahora estás atascado con $\dim((U+V)\cap W) $, por lo que no parece ser una simple fórmula.

(Por CIERTO, consulte también http://mathoverflow.net/questions/17740/is-there-a-version-of-inclusion-exclusion-for-vector-spaces pero usted probablemente sabe acerca de esto ya.)