Si $|ax^2+bx+c|\le 1\ \forall |x|\le 1$ entonces, ¿cuál es el valor máximo posible de $\frac 83a^2+2b^2$ ?

Question

Dejemos que $f(x) = ax^2 + bx + c$ ; $a,b,c\in\mathbb R$

Se da que $|f(x)| \le 1$ $\forall |x| \le 1$

Q1) El posible valor de $|a+c|$ , si $\displaystyle \frac{8}{3} a^2 + 2b^2$ es máxima, viene dada por:

a) $0$

b) $1$

c) $2$

d) $3$

P2) El posible valor de $|a+b|$ , si $\displaystyle\frac{8}{3} a^2 + 2b^2$ es máxima, viene dada por:

a) $0$

b) $1$

c) $2$

d) $3$

P3) El valor máximo posible de $\displaystyle\frac{8}{3} a^2 + 2b^2$ está dada por:

a) $32$

b) $\displaystyle\frac{32}{3}$

c) $\displaystyle\frac{2}{3}$

d) $\displaystyle\frac{16}{3}$

No tengo ni idea de cómo abordar esta cuestión y se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Voy a escribir una respuesta porque la respuesta dada parece tener algunos errores.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $a,b,c$ puede escribirse como $$a=\frac 12\left(f(-1)+f(1)-2f(0)\right),\quad b=\frac 12\left(f(1)-f(-1)\right),\quad c=f(0)$$ podría facilitar las cosas.

Consideremos primero Q3).

$$\begin{align}\frac 83a^2+2b^2&=\frac 43\left(2a^2+\frac 32b^2\right)\\&=\frac 43\left(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2-\frac 12b^2\right)\\&=\frac 43\left((a+b)^2+(a-b)^2-\frac 12b^2\right)\\&=\frac 43\left(\left(f(1)-f(0)\right)^2+\left(f(-1)-f(0)\right)^2-\frac 12b^2\right)\\&=\frac 43\left(|f(1)-f(0)|^2+|f(-1)-f(0)|^2-\frac 12b^2\right)\\&\le \frac 43\left(\left(|f(1)|+|f(0)|\right)^2+\left(|f(-1)|+|f(0)|\right)^2-\frac 12 b^2\right)\\&\le \frac 43\left(\left(1+1\right)^2+\left(1+1\right)^2-\frac 12\cdot 0^2\right)\\&=\frac{32}{3}\end{align}$$ Esto se consigue si y sólo si $$(f(-1),f(0),f(1))=(1,-1,1),(-1,1,-1),$$ es decir $$(a,b,c)=(2,0,-1),(-2,0,1).$$ Por lo tanto, el valor máximo posible de $\frac 83a^2+2b^2$ es $\color{red}{\frac{32}{3}}$ .

Q1) $|a+c|=|\pm 2\mp 1|=\color{red}{1}$ .

Q2) $|a+b|=|\pm 2+0|=\color{red}{2}$ .

Answer 2

$(iii)$ Sabemos que para $$|u|\leq 1\;\;,|v|\leq 1\;,$$ entonces $$|u-v|\leq 2$$

Ahora $$|f(1)-f(0)|\leq 2\Rightarrow |a+b|\leq 2$$

por lo que obtenemos $$(a+b)^2\leq 4.............(1)$$

También $$|f(-1)-f(0)|\leq 2\Rightarrow |a-b|\leq 2$$

Así que obtenemos $$(a-b)^2\leq 4..............(2)$$

Ahora, $$4a^2+3b^2 = 2(a+b)^2+2(a-b)^2-b^2\leq 16$$

Así que obtenemos $$(4a^2+3b^2)_{\bf{Min.}} = 16\;,$$ Cuando $b=0$

Así que $$|a+b| = |a-b| = |a| = 2$$

También $$|f(1)-f(0)| = |(a+c)-c| = |a| =2$$

por lo que obtenemos $$|a+c| = |c| = 1$$

Así que el posible par ordenado de $(a,b,c)$ son $(2,0,1)$ o $(-2,0,1)$

y también $$\displaystyle \frac{8}{3}a^2+2b^2 = \frac{2}{3}(4a^2+3b^2)\leq \frac{2}{3}\cdot 16$$