¿Existe un límite termodinámico a la eficacia con la que se puede resolver un cubo de Rubik?

Question

Supongamos que construyo una máquina a la que se le dan cubos de Rubik que han sido revueltos a una de las $\sim 2^{65}$ posiciones posibles del cubo, elegidas uniformemente al azar. ¿Es posible que la máquina resuelva los cubos sin emitir calor?

Se podría pensar que resolver el cubo consiste en destruir unos 65 bits de información porque se necesitan 65 bits para describir el estado del cubo antes de entrar en la máquina, pero cero bits para describirlo después (ya que se sabe que está resuelto).

Si la información almacenada en un cubo de Rubik es equivalente a cualquier otro tipo de información almacenada físicamente, entonces por el principio de Landauer podríamos esperar que la máquina tuviera que emitir un calor de $T \mathrm{d}S \sim 65 T k_B \ln(2)$ Pero, ¿es válido aplicar el principio de Landauer a la información almacenada de esta manera? ¿Qué tipo de argumento se necesita para decir que un determinado tipo de información es físicamente significativa, de manera que su destrucción requiere pagar un coste de entropía en otro lugar?

Answer 1

Supongamos que tienes un cubo de Rubik que está hecho de un pequeño número de átomos a baja temperatura, de modo que puedes hacer movimientos sin ninguna disipación por fricción, y supongamos que el cubo se inicializa con uno aleatorio de sus $\sim 2^{65}$ posibles estados. Ahora bien, si quieres resolver este cubo tendrás que medir su estado. En principio se puede hacer esto sin disipar ninguna energía. Una vez que conozcas los movimientos que tienes que hacer para resolver el cubo, éstos también se pueden hacer sin disipar ninguna energía.

Así que ahora decides construir una máquina que resuelva el cubo sin disipar ninguna energía. Primero mide el estado y lo almacena en alguna memoria digital. Luego calcula los movimientos necesarios para resolver el cubo a partir de esta posición. (En principio, tampoco es necesario que genere calor). Luego realiza esos movimientos, resolviendo el cubo.

En principio, ninguno de estos pasos tiene que desprender calor, pero tu máquina termina en un estado diferente al que empieza. Al final del proceso, el estado de la máquina se ha aleatorizado en 65 bits, porque todavía contiene la información sobre el estado inicial del cubo. Si quieres reiniciar la máquina para que pueda resolver otro cubo, tendrás que restablecer esos bits de estado a sus condiciones iniciales, y eso es lo que tiene que disipar la energía según el principio de Landauer.

Al final la respuesta es simplemente que tienes que pagar un coste de entropía para borrar información en todos los casos en los que realmente necesitas borrar esa información. Si sólo quieres resolver un número finito de cubos, puedes hacer que la memoria sea lo suficientemente grande como para almacenar toda la información resultante, por lo que no hay necesidad de borrarla, y no es necesario generar calor. Pero si quieres construir una máquina de tamaño finito que pueda seguir resolviendo cubos indefinidamente, entonces será necesario verter entropía en el entorno.

Este es también el caso del demonio de Maxwell: si se permite que el demonio tenga una memoria infinita, todo inicializado a un estado conocido, entonces no necesita disipar nunca ninguna energía. Pero darle una memoria infinita es prácticamente lo mismo que darle una fuente de energía infinita; es capaz de reducir indefinidamente la entropía termodinámica de su entorno sólo aumentando indefinidamente la entropía de la información de su propio estado interno.

Answer 2

En principio estoy de acuerdo con tu análisis, pero no con la conclusión. Desde un punto de vista algorítmico, se puede resolver el cubo sin gastar calor, siempre que no se pierda información. Así que, en principio, puedes tener un cubo extra en un estado conocido, que luego transformas en tándem al cubo que intentas resolver. El estado inicial del primer cubo se codifica entonces en el estado final del segundo cubo. En el campo de la computación reversible, el segundo cubo representa una variable auxiliar.

Answer 3

En realidad leí el título de otra manera, así que permítanme responder a una pregunta diferente: ¿cuál es el requisito termodinámico mínimo para resolver un cubo? Ahora bien, si se analiza la posición inicial (lo que han hecho algunos algebristas), entonces se sabe cuántos movimientos se necesitan para resolverlo. Si se hace una suma ponderada sobre todos los estados iniciales, es decir, ponderada por el número de movimientos hasta la solución desde cada estado, se encuentra rápidamente la energía esperada (en "unidades de movimiento"), la desviación estándar, etc.

Supongo que esto es más aburrido de lo que pretendía la pregunta :-( .

Answer 4

Dependiendo de cómo se interprete la idea de un cubo de Rubik, una versión mecánica cuántica no requiere calor ni para aleatorizar ni para resolver. Supongamos que tenemos un cubo virtual cuyo estado está representado por 65 qbits. Es deseable que los diferentes estados del sistema tengan un acoplamiento muy bajo, pero en la práctica deben tenerlo, por lo que un sistema que comienza en un estado base con cada bit con un valor definido evolucionará, a la larga, hacia una superposición. Para aleatorizar el sistema, esperamos un tiempo muy largo (pero aleatorio) y luego leemos los qbits. A continuación, realizamos una serie de operaciones unitarias para devolver los qbits al estado $|0,0,0...0 \rangle$ que representa un cubo resuelto. Como en principio ninguna de las dos operaciones requiere energía, no hay coste termodinámico.

Answer 5

El cubo de Rubik puede almacenar información. La información puede cambiarse. El cubo de Rubik es un dispositivo de memoria. Cambiar un bit de información en un cubo de Rubik requiere al menos energía kT ln 2. Ese es el principio de Landauer.

La energía de cambiar un bit en un cubo de Rubik se convierte en energía térmica del cubo de Rubik.

Un cubo de Rubik virtual en la memoria del ordenador obedece a esa misma ley.