Continuó fracción pregunta

Question

Me han dado una continuación de la fracción por un número x:

$$x = 1+\frac{1}{1+}\frac{1}{1+}\frac{1}{1+}\cdots$$

¿Cómo puedo demostrar que $x = 1 + \frac{1}{x}$? He jugado con algunos de los primeros convergents de este continuo fracción, pero no tengo cerca.

Answer 1

Basta con mirar a él. OK, si quieres algo más proofy de aspecto: si $x_n$ $n$'th convergente, entonces $x_{n+1} = 1 + 1/x_n$. Tomar límites.

Answer 2

No esta inmediatamente después de la definición de la $n+\frac1{a+}\frac1{b+}\cdots$ la notación que utiliza? Específicamente, pensé que $\frac1{a+}Z\ldots$ se definió a ser exactamente el mismo que $\frac1{a+Z\ldots}$.

Entonces si $x=1+\frac1{1+}\frac1{1+}\cdots$$\frac1x = \frac1{1+}\frac1{1+}\cdots $$1+\frac1x = 1+\frac1{1+}\frac1{1+}\cdots = x$.