Forma Integral de la fórmula de Taylor

Question

Estoy tratando de reescribir la fórmula de Taylor en $\mathbb{R}^n$.

Vamos $p\in \mathbb{N}$, $V \subset \mathbb{R}^n$ abierto y convexo, $\mathbf{x, a} \in V$, e $f:V\to \mathbb{R}$ donde $f \in C^p(V)$. Entonces $$f(\mathbf{x}) = \sum_{k=0}^{p-1} \frac{1}{k!} D^{(k)} f(\mathbf{a}; \mathbf{x-a}) + \frac{1}{(p-1)!} \int_0^1 (1-t)^{p-1} D^{(p)} f(\mathbf{a} + t(\mathbf{x-a}); \mathbf{x-a}) dt.$$

Sin duda, para la $p=1$ la propiedad, evidentemente, sostiene. Puedo utilizar una inducción de la argumentación y la integración por partes para probar esto, ¿es correcto? Fue catalogado como un ejercicio difícil, así que estoy un poco cautelosos a la hora agitando los brazos en el aire demasiado pronto.

Answer 1

Uso del teorema de Taylor en una dimensión con el resto en forma integral en la función de $g(t) = f(a + t(x- a))$. Si usted escribe la expansión de Taylor de $g(t)$ $0$ y el enchufe de la $t = 1$ se traduce en lo que usted está tratando de demostrar.