Factor $x^7 + x + 1$ $\mathbb{F}_7$

Question

Este es un problema de Artin del Álgebra.

De acuerdo con Mathematica la factorización es

$$x^7 + x + 1 = (x + 4)(x^2 + x + 3)(x^2 + x + 4)(x^2 + x + 6)$$

¿Hay algún truco para evitar hacerlo por ensayo y error? No es difícil ver que el 3 es una raíz, pero no veo cómo encontrar el cuadrática factores.

Answer 1

Considerar qué elementos $\alpha \in \mathbb{F}_{7^k}$, posiblemente, podría ser una raíz, otros de $3$. Desde $x \mapsto x^7$ es el Frobenius mapa, si $\alpha$ tiene un mínimo de polinomio $f(x)$ $\alpha^7$ debe ser también una raíz de $f(x)$. Pero tenemos $\alpha^7 = - \alpha - 1$ por supuesto, por lo $f(x)$ debe ser divisible por

$$(x - \alpha)(x + \alpha + 1) = x^2 + x - (\alpha^2 + \alpha).$$

Por el contrario, cualquier polinomio irreducible de la forma $x^2 + x + a \in \mathbb{F}_7[x]$ debe ser un factor, ya que debe tener una raíz con la anterior propiedad. Esto reduce el problema a determinar cuándo $x^2 + x + a$ es irreductible. El discriminante aquí es $\sqrt{1 - 4a}$ que se encuentra en $\mathbb{F}_7$ fib $1 - 4a = 0, 1, 2, 4$, por lo tanto iff $a = 2, 0, 5, 1$. Por lo $x^2 + x + a$ es irreductible iff $a = 3, 4, 6$, lo que debe ser, precisamente, los tres irreductible cuadrática factores.

Answer 2

Deje $u = x+4$. Entonces el polinomio se convierte en $$ u^7+u=u(u^2+1)(u^2+2)(u^2+4) \, . $$