Deje $G$ ser una mentira grupo que actúa sobre una suave colector $M$ sin problemas, correctamente y con soltura. Entonces, existe un único liso de la estructura espacial en órbita $M/G$ de manera tal que el mapa de $\pi:M\rightarrow M/G$ es un buen inmersión.
Estoy tratando de mostrar que este mapa tiene el local de la trivialización de la propiedad con $G$ fibra de espacio, es decir, dado $q\in M/G$ existe un subconjunto abierto $U\subseteq M/G$ contiene $q$ y un diffeomorphism $$\varphi:U\times G\rightarrow \pi^{-1}(U).$$
Sección Local teorema dice que cualquier suave inmersión tiene abundantes secciones locales. En particular, dado $p\in M$ existe una sección local de $\pi$ cuya imagen contiene $p$. Deje $q=\pi(p)$ $\sigma:U\rightarrow M$ ser una sección local de $\pi$$\sigma(q)=p$.
Como $\pi\circ \sigma=1_U$ tenemos $\sigma(a)\in \pi^{-1}(a)\subseteq \pi^{-1}(U)$ todos los $a\in U$. Así, tenemos ,$U\rightarrow \pi^{-1}(U)$ un suave mapa. Definir $\varphi:U\times G\rightarrow \pi^{-1}(U)$$(a,g)\mapsto g\sigma(a)$.
Como $a=\pi(\sigma(a))=\pi(g\sigma(a))$,$g\sigma(a)\in \sigma^{-1}(a)\subseteq \sigma^{-1}(U)$. Así, tenemos una bien definida mapa de $U\times G\rightarrow \pi^{-1}(U)$$(a,g)\mapsto g\sigma(a)$.
Deje $(a,g),(a',g')\in U\times G$ ser tal que $\varphi(a,g)=\varphi(a',g')$ es decir, $g\sigma(a)=g'\sigma(a')$.
Por eso, $\pi(g\sigma(a))=\pi(g'\sigma(a'))$ es decir, $\pi(\sigma(a))=\pi(\sigma(a'))$ es decir, $a=a'$.
Como la acción de $G$ $M$ es gratis, $g\sigma(a)=g'\sigma(a')=g'\sigma(a)$ implica $gg'$.
Por lo tanto, $\varphi :U\times G\rightarrow \pi^{-1}(U)$ es inyectiva.
Deje $x\in \pi^{-1}(U)$, $\pi(x)\in U$. Esto sugiere considerar $(\pi(x),g)\in U\times G$ tal que $\varphi(\pi(x),g)=x$ (Esto es, con la corazonada de que $\varphi$ es surjective.) es decir, $g\sigma(\pi(x))=x$. Pero, ¿cómo sabemos que no existe $g\in G$ tal que $g\sigma(\pi(x))=x$? No hemos asumido que la acción es transitiva. Me estoy perdiendo algo?
Supongamos que tal $g$ existe, entonces es claro que $\varphi$ es suave bijective mapa. Su inverso $\pi^{-1}(U)\rightarrow U\rightarrow G$ está dado por $x\mapsto (\sigma(x),g)$ donde $g\in G$ es tal que $g\sigma(\pi(x))=x$ y no veo cómo se puede demostrar que este inversa es suave. Es suave en la primera coordenada, ya que es el mapa de $\pi$. ¿Cómo podemos demostrar que $\pi^{-1}(U)\rightarrow G$ $x\mapsto g$ donde $g$ es tal que $g\sigma(\pi(x))=x$ es un buen mapa.
Cualquier sugerencias son bienvenidas.
