encontrar un ángulo sin ningún tipo de longitudes de segmento

Question

Dijo que mejor con una imagen. Dados los ángulos a y b, resuelva para x de ángulo. (Tenga en cuenta que la parte superior derecha del vértice es también el centro del círculo)

Lo he intentado

Incapaz de encontrar un método sencillo para llegar a x, me decidí a sacar todos los acordes, y extender a todos los segmentos a los bordes del triángulo:

Yo he conseguido casi todos los ángulos, excepto los pocos que necesito para encontrar x, así que no estoy seguro de si este método de extensión de todas las líneas ha ayudado. Aquí es hasta qué punto tengo (excusa el reordenamiento, necesitaba espacio para escribir):

Creo que estoy con vistas a algo simple aquí. No estoy pidiendo que la solución necesariamente, de cómo me debería llegar.

También si alguien me pudiera ayudar con un más técnicamente título descriptivo, me encantaría una edición.

Answer 1

La escala de la figura de que el círculo es el círculo unitario.

Poner un sistema de coordenadas tal que $A$ es el centro, y $C$ es en el $x$-eje

Ahora el punto de $D$ tiene de coordenadas

$$D=(\cos a,\,\sin a)$$

El seno de $b$$\frac{|AB|}{|AC|}$, por lo que

$$\sin b=\frac1{|AC|}\implies|AC|=\csc b$$

Comparando $C$ $D$ encontramos

$$\Delta x=\csc b-\cos a\qquad\qquad\Delta y=\sin a$$

Tomando el arco tangente de la pendiente, obtenemos el ángulo

$$ \begin{align} x&=\arctan\frac{\sin a}{\csc b-\cos a}\\ &=\arctan\frac{\sin a\sin b}{1-\sin b\cos a} \end{align} $$