Si la suma $\frac{1}{7} + \frac{1\cdot 3}{7\cdot 9} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{7\cdot 9\cdot 11} + ...$ a 20 términos es $\frac{m}{n}$ entonces $n-4m$ ?

Question

Si la suma $\frac{1}{7} + \frac{1\cdot 3}{7\cdot 9} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{7\cdot 9\cdot 11} + ...$ a 20 términos es $\frac{m}{n}$ fracción reducida, entonces lo que es $n-4m$ ?

Esta es una pregunta que he sacado de un antiguo examen del JEE Main (India).
Me intriga mucho porque, aunque parece sencillo, no consigo encontrar la suma en esta pregunta.

El numerador del enésimo término de la serie parece ser el producto de los n primeros términos de los números Impares. El denominador está hecho de forma similar, pero la secuencia comienza a partir de 7. No tengo ni idea de cómo encontrar la suma a n términos en esta situación. Si fuera la suma de números Impares y no el producto, podría haberlo hecho fácilmente.

Por favor, explíqueme cómo se encuentra el producto de n términos de una secuencia
y también la suma a n términos de la secuencia dada.

Nunca me habían presentado el producto de n términos, si pudieras intuirlo bien, me alegraría mucho la navidad.

Answer 1

Lo siguiente no es especialmente ingenioso, pero funciona.

Tenga en cuenta que $$1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2N-1) = \frac{(2N)!}{2^N N!}$$

Utilizando esto (o simplemente considerando los cocientes de los términos adyacentes como se sugiere en los comentarios), cada término de la serie es $$\frac{120(2n)! (n+3)!}{n!(2n+6)!} = \frac{15}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)} = \frac{15}{8}\left(\frac 1 {2n+1} - \frac 2 {2n+3} + \frac 1 {2n+5} \right)$$

Utilizando sumas telescópicas, se encuentra la suma de $N$ términos para ser $$\frac 1 4 -\frac{15}8 \left( - \frac 1 {2N+3} + \frac 1 {2N+5}\right)$$ y se puede calcular la respuesta.

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Editar : Como ha señalado Cameron en los comentarios, la naturaleza telescópica de la suma se aclara al darse cuenta de que estás sumando los términos $$\left(\frac 1 3 - \frac 1 5\right) - \left(\frac 1 5 - \frac 1 7\right),\quad \left(\frac 1 5 - \frac 1 7\right) - \left(\frac 1 7 - \frac 1 9\right),\quad \cdots$$

Answer 2

Escribamos el último término. ¿Qué notamos? $\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot\ldots\cdot39}{7\cdot9\cdot11\cdot\ldots\cdot39\cdot41\cdot43\cdot45}=\dfrac{1\cdot3\cdot5}{41\cdot43\cdot45}$

Todos los términos, empezando por el cuarto, son de la forma $\dfrac{1\cdot3\cdot5}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}$ que tiene el

palabras serie telescópica escrito por todas partes. :-) Entonces todo lo que queda por hacer es añadir la suma de los tres primeros términos a su resultado, simplificar la fracción y calcular $n-4m$ .

Answer 3

Mathematica código de mi comentario anterior. No lo convertí en una respuesta porque es sólo un hack de programación, y no explica los fundamentos matemáticos.

c = Total[
    Join[{(a = 1)/(b = 7)}, 
         Table[(a *= j)/(b *= (j + 6)), {j, 3, 39, 2}]]];
Denominator[c] - 4 Numerator[c]