Gauss sumas ray grupo de clase

Question

En Neukirch del libro, página 503, en el comentario 1 dice que

Él da una referencia para que. Yo no soy capaz de llegar.

Podría alguien, al menos, dibuje la forma de la indicada suma de Gauss, beause tengo de varios intentos fallidos.

Answer 1

La mención del artículo dado por Neukirch es

Allgemeine Theorie der Gaußschen Summen en algebraischen Zahlkörpern. Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlín. Matemáticas.-Nat. Klasse 1 (1951) 4-23

No pude encontrar el artículo en sí mismo (no es que hubiera ayudado mucho ya que no sé alemán), pero tengo acceso a la MathSciNet de revisión, que voy a intentar parafraseando porque no estoy seguro de que una cita directa caería bajo el uso justo:

Elegimos $\chi$, una congruencia de caracteres de un campo de número de $K$, cuyo conductor es $\mathfrak{f}\mathfrak{u}$ donde $\mathfrak{f}$ es la parte finita y $\mathfrak{u}$ es la parte infinita, así como un múltiplo del conductor, $\mathfrak{m}\mathfrak{w}$, donde de manera similar, $\mathfrak{m}$ es la parte finita y $\mathfrak{w}$ es la parte infinita. Elegimos un divisor $\mathfrak{a}$$K$, y definir su complementar $\widetilde{\mathfrak{a}}$ por la relación $\mathfrak{a}\widetilde{\mathfrak{a}}=\mathfrak{d}^{-1}$ donde $\mathfrak{d}$ es la diferencia de $K$. Por último, elegimos $n$, que es un elemento no nulo de a $\widetilde{\mathfrak{a}}\mathfrak{m}^{-1}$.

Las sumas de Gauss considerado por Hasse en este artículo son, al parecer, los de la forma $$\tau_n(\chi,\mathfrak{m}\mathfrak{w}|\mathfrak{a})=\textstyle\sum\chi(\mathfrak{x})e(xn).$$ La suma es más que el residuo de los representantes de la clase $x$ que satisfacer (y aquí cito, porque no entiendo lo que significa):

$$x\bmod \mathfrak{m}\mathfrak{a},\;x\in\mathfrak{a}; \;x=\mathfrak{x}\mathfrak{a}, \;(\mathfrak{x},\mathfrak{m})=1\,\text{ and }\,x\equiv 1\,\mathord{(}\!\bmod\mathfrak{w}).$$ Espero que esto sea de ayuda para usted. Si no, todo lo que puedo sugerir es encontrar una biblioteca cerca de usted con acceso a MathSciNet, por lo que se puede ver en la reseña completa a sí mismo.