¿Cómo es el hyperplane paquete de recorte de $(\mathbb{C}^{n+1})^\ast \times \mathbb{P}^n$?

Question

[Pregunta ha sido actualizado con más contexto y tal vez una mejor explicación a mi pregunta.]

Fuente: Smith et al., Invitación a la Geometría Algebraica, en la Sección 8.4 (páginas 131 - 133).

En primer lugar, un breve set-up, cuyo propósito será evidente en un minuto. Tenga en cuenta que todo lo que aquí se $\mathbb{C}$.

El tautológica paquete de más de $\mathbb{P}^n$ se construye como sigue. Considerar la incidencia de la correspondencia de puntos en $\mathbb{C}^{n+1}$ mintiendo en las líneas a través del origen, $B = \{(x, \ell) \;|\; x \in \ell \} \subseteq \mathbb{C}^{n+1} \times \mathbb{P}^n$, junto con la natural proyección de $\pi : B \rightarrow \mathbb{P}^n$. [...] La tautológica paquete sobre la variedad proyectiva $X \subseteq \mathbb{P}^n$ se obtiene por la simple restricción de la correspondencia de los puntos de $X$...

Siguiente, se muestra que este paquete no tiene ningún global de las secciones, en el caso de $X = \mathbb{P}^1$:

Una sección global de la tautológica paquete define, para cada punto de $p \in \mathbb{P}^1$,
un punto de $(a(p), b(p)) \in \mathbb{C}^2$ acostado en la línea a través del origen correspondiente a $p$. Dado que la asignación $p \mapsto (a(p), b(p))$ debe ser una de morfismos, vemos que la proyección en cualquiera de factor, hemos morfismos $a, b : \mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{C}$. Pero debido a que $\mathbb{P}^1$ admite no no constante funciones regulares, tanto en $a$ $b$ son constantes funciones. Pero ambos son cero...

Tan lejos, tan bueno. Ahora:

El hyperplane bundle $H$ en un cuasi-proyectiva, en la variedad está definido para ser el doble de la tautológica de la línea de paquete: La fibra $\pi^{-1}(p)$ más de un punto de $p \in X \subset \mathbb{P}^n$ el (unidimensional) espacio vectorial de funcionales lineales en la línea $\ell \subset \mathbb{C}^{n+1}$ que determina el $p$$\mathbb{P}^n$. La construcción formal de $H$ como una subvariedad de $(\mathbb{C}^{n+1})^\ast \times \mathbb{P}^n$ asemeja a la de la tautológica de la línea de paquete.

Esto, no lo entiendo. Específicamente, mientras que en el set de $v \in \mathbb{C}^{n+1}$ tal que $v \in \ell$ fue un subespacio de $\mathbb{C}^{n+1}$, el conjunto de funcionales lineales $f : \ell \rightarrow \mathbb{C}$ parece ser un cociente de $(\mathbb{C}^{n+1})^\ast$, en lugar de un subespacio. Así que no veo cómo llevar a cabo la construcción en paralelo aquí.

En particular, cualquier método que corta algo de $(\mathbb{C}^{n+1})^\ast \times \mathbb{P}^n$ aparentemente nos permiten llevar a cabo el argumento anterior y muestran que la hyperplane paquete no tiene ningún global de las secciones, lo cual es falso.

Answer 1

Vamos a ser más canónica: llame a$V$ el espacio vectorial tal que $\mathbb P^n=\mathbb P(V)$.
Dado un punto de $p\in W$ (donde $W\subset \mathbb P^n$ es la subvariedad), usted puede considerar lineal formas $\phi:l\to \mathbb C$ sobre la línea de $l$ correspondiente a $p$.
Estos lineal formas constituyen la fibra en $p$ de el lote a $B^*$ doble a $B$: $\phi\in B^*[p]$.

La terminología hyperplane paquete es debido al hecho de que si usted considera que la misma construcción en $\mathbb P^n$ usted obtiene un paquete $H$ cuya global secciones se identifican a $V^*$ es decir $\Gamma (\mathbb P^n, H)=V^*$, por lo que la puesta a cero de un $\Phi\in V^*$ es un hyperplane $\mathbb P(Ker(\Phi))\subset \mathbb P^n$.
El paquete restringido $H\mid W$ es, entonces, el paquete que usted está interesado en : $H\mid W=B^*$

Finalmente tenga en cuenta que usted tiene un canónica espacio vectorial de morfismos de global secciones $\Gamma (\mathbb P^n, H)=V^*\to \Gamma (W, B^*)$, que no es ni inyectiva ni surjective en general.

Editar
Lat mí la dirección de un sutil punto planteado por Daniel.
El trivial bundle $V^*\times \mathbb P^n$ $H$ tienen exactamente el mismo espacio vectorial de global secciones, a saber,$V^*$. Pero, ¿son iguales? Por supuesto que no: el primer grupo tiene rango $n+1$ y el segundo un rango de $1$.
Bien, entonces, ¿qué es la fibra de $H$$p$? Algunos dimensión $1$ subespacio de $V^*$ tal vez?
No, en absoluto! Es $l^*$ donde $l$ es la línea que $p$ representa y, como Daniel señala correctamente, $l^*$ es un cociente de $V^*$, no es un subespacio.
Ya no tenemos $H\subset V^*\times \mathbb P^n$, no podemos aplicar el razonamiento que condujo a la conclusión de que la tautológica vector paquete tiene sólo la sección cero y la paradoja se desvanece.

En resumen, tenemos un canónica surjective (pero no inyectiva) morfismos de vector de paquetes en $\mathbb P^n$ $$V^*\times \mathbb P^n\to H\to 0 $$ which induces an isomorphism of ordinary $\mathbb C$-vector spaces $$\Gamma( \mathbb P^n,V^*\times \mathbb P^n)=V^*\stackrel{\cong}{\to} \Gamma(\mathbb P^n,H) $$