Dado un no-parabólicos de transformación, la cual es también una orientación de la preservación de isometría en la hiperbólica de la mitad superior del plano de unión en el límite, si conozco a los dos puntos fijos y son dos diferentes fracciones irreducibles en el límite, ¿cómo puedo encontrar la correspondiente transformación de Möbius?
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merriam
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Se trata de un importante y hermoso accidente que la orientación de la preservación de grupo de isometría de la mitad superior del plano de $\bf{H}$$PSL(2,\bf{R})$. La acción de la matriz $A = [[a,b],[c,d]]$ está dado por $A\cdot z = (az + b)/(cz + d)$. Además, permitirá el punto de $\infty = 1/0$: esta imagen ha $a/c$. Asimismo, el número real $-d/c$ es enviado a infinito.
Ahora a tu pregunta: Supongamos que el $p, q$ son distintos los números reales, por lo tanto dos puntos en $\partial \bf{H}$. Entonces hay una hiperbólica geodésica de conectarlos. Un cálculo utilizando la anterior revela que hay una familia de un parámetro de isometrías hiperbólicas fijación $p, q$. Para empezar, aquí está la primera línea de la computación suponiendo que tenga explícita y simple, los valores de $p, q \in \bf{R}$ en mente.
Fix $A$. A continuación, $A \cdot p = p$ implica que el $ap + b = cp^2 + dp$. Resolver esto, hacer lo mismo para$q$, y recuerda que $kA = A$ para los no-cero $k \in \bf{R}$. (Que es lo que el $P$ representa en $PSL$.)
Como nota final - como el comentario sugiere también es posible encontrar una matriz $B$ envío de $p, q$$0, \infty$, resolver el problema, para los muy especial de valores, y el conjugado de la espalda. Pero tal vez es importante para entender el problema de las dos maneras.
CodingBytes
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Deje $T:z\to z'$ ser una transformación de Moebius y dejar $p, q\in{\mathbb R}$, $\ p<q$, ser sus dos puntos fijos. Como $z'=p$ fib $z=p$ $z'=q$ fib $z=q$, las dos variables $z$ $z'$ tienen que ser relacionados por una fórmula de la forma $${z'-q \over z'-p}=\lambda {z-q \over z- p}$$ para algunos complejos constante $\lambda$. Esta constante tiene que cumplir unas condiciones para garantizar que (a) $T$ mapas el eje real a sí mismo y (b) $T$ mapas, por ejemplo, el punto de $i$ a un punto en la mitad superior del plano.
