Lo que es un ejemplo muy simple de un equivariant mapa?

Question

Si tomamos $S^1$ actuando en $S^2$ por rotación, entonces la altura de la función de $h: S^2\to R$ es un ejemplo de un invariante del mapa (o un equivariant mapa donde la acción en $R$ es la trivial).

Estoy buscando un ejemplo sencillo de un equivariant mapa que es tan simple como este (y que puede ser visualizado).

Answer 1

Es muy fácil de llegar con esas. Un par de ejemplos:

• La función que asigna a cada $k$-tupla de vectores linealmente independientes en $\mathbb C^n$ $k$- dimensiones subespacio que abarcan es equivariant con respecto a la obvia acciones de $\mathrm{GL}(\mathbb C^n)$ sobre su dominio y codominio;

• La función de mapeo de cada triángulo en $\mathbb R^2$ a de su área, un número real, es equivariant con respecto a la acción de la $\mathrm{GL}(\mathbb R^2)$ actuando de la manera obvia en el dominio, y por la multiplicación por el factor determinante en el codominio;

• la función que toma un número finito de palabras en las letras $a$, $b$ y devuelve la palabra con las mismas letras pero con todas las $a$s antes de todas las $b$s, es equivariant con respecto a la acción de la $\mathbb Z_2$ sobre el dominio interchaning $a$s y $b$s en cada palabra, y en el codominio, intercambiando $a$s y $b$s y reflexionar la palabra hacia atrás.

• la función de los mapas de vértices de la diagonal a la que pertenece es equivariant para el grupo de simetrías de un cubo de actuar de la manera obvia en el dominio y el codominio de la función.

Answer 2

Si usted cavar hacia abajo en la Tierra, ¿dónde acabará? Lo que si tomamos en cuenta la rotación de la Tierra?

Un ejemplo trivial de G-equivariant mapa f de X a Y toma X=Y={ (x,y) : x,y en R s.t. x²+y² = 1 } a ser el círculo unidad, y G para el grupo total de rotaciones (y reflexiones, si quieres) de X. Tomando f(x,y) = (−x,−y) para ser el "antipodal" o punto opuesto de x resulta ser G-equivariant, desde el "frente" de un punto se define intrínsecamente. Este f no es invariante, pero es equivariant.

Usted puede hacer lo mismo para cualquier bola o esfera, y G puede ser cualquier subgrupo del grupo de isometría. Por ejemplo, tomar X=Y=S² para ser la esfera, y tomar G a un grupo de rotaciones con un eje de rotación. Si quieres saber de dónde se obtiene después de la perforación hacia abajo en la tierra, usted podría pedir antes de que la Tierra gira o después, pero realmente no importa, desde el punto opuesto gira a la misma velocidad.

Answer 3

Acabo de encontrar esto y tengo un ejemplo muy sencillo.

Deje $f: S^2 \rightarrow S^2$ ser un reflejo yo.e $f(x,y,z)=(-x,y,z)$. A continuación, $f$ es claramente $S^1$-equivariant donde el grupo de acción por la conjugación.