La confusión en el orden de la acción de grupo en función de

Question

Deje $\Gamma$ ser un grupo y $\Gamma'\leq \Gamma$ ser el subgrupo. Deje $Y$ $\Gamma'$ módulo. Definir la inducción $Ind^\Gamma_{\Gamma'}Y=<f:\Gamma\to Y\vert\forall\gamma\in\Gamma,\gamma'\in\Gamma',f(\gamma'\gamma)=\gamma'f(\gamma)>$ abelian grupo generado por los elementos prescritos.

A continuación, $\Gamma$ acción en $Ind^\Gamma_{\Gamma'}$ está definido por $\gamma\in\Gamma, (\gamma f)(x)=f(x\gamma)$.

$\textbf{Q:}$ Cuando intento verificar el grupo de acción para $\gamma_i\in\Gamma$ $[(\gamma_1\gamma_2)f](x)=f(x\gamma_1\gamma_2)$ y $(\gamma_1)[(\gamma_2)f]=\gamma_1(f(x\gamma_2))=f(x\gamma_2\gamma_1)$, no puedo tener $(\gamma_1\gamma_2)f=\gamma_1(\gamma_2(f))$. He hecho algo mal? Neukirch definidas $\Gamma$ acción por $(\gamma f)(x)=f(\gamma x)$. Entonces no tengo problemas para ver $\Gamma$ acción aquí por $(\gamma_1\gamma_2f)(x)=f(\gamma_1\gamma_2x)=\gamma_1(f(\gamma_2x))=\gamma_1((\gamma_2)f)(x)$

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Por Arnaud Mortier del comentario, creo que he entendido lo que está mal en mi mente configuración. $\gamma f(x)=f(x\gamma)$ se ajuste a la izquierda de la acción de $f$ a un derecho de acción en $x$. $(\gamma\gamma' )f(x)=f(x\cdot(\gamma\gamma'))=f((x\gamma')\gamma)=\gamma f(x\gamma')=\gamma(\gamma' f)(x)$

Para $\gamma f(x)=f(\gamma x)$(Neukirch definición), necesito $(\gamma\gamma')f(x)=\gamma(\gamma' f)(x)=\gamma' f(\gamma x)=f(\gamma'\gamma x)$. Necesito cambiar de acción izquierda a derecha acción de nuevo por aquí.

Ref. Conferencias sobre la Geometría Algebraica por Gunter más Difícil 2.2.4 Ejercicio 7.

Answer 1

El correcto cálculo para verificar que $(\gamma_1\gamma_2)f=\gamma_1(\gamma_2f)$ va como sigue. Dado $x\in\Gamma$, tenemos

$$((\gamma_1\gamma_2)f)(x)=f(x(\gamma_1\gamma_2))=f((x\gamma_1)\gamma_2) =(\gamma_2 f)(x\gamma_1)=(\gamma_1(\gamma_2f))(x)\text{.}$$

Tenga en cuenta también que en su definición de la inducida por $\Gamma$-módulo, no es necesario incluir "abelian grupo generado por [los] elementos prescritos," porque las funciones indicadas ya forma un grupo bajo pointwise adición (el uso de la operación en $Y$) de las funciones.