Castelnuovo-Mumford regularidad de Cohen-Macaulay módulos

Question

Deje $S=K[X_1,\ldots,X_n]$ $M$ ser una Cohen-Macaulay $S$-módulo. Esta igualdad tiene $$ \operatorname{reg}(M)=\dim(M)+\max\{i\in\mathbb{Z}\colon P_{M}(i)\neq H(M,i)\}. $$

Se ha comprobado en Eisenbud, "La Geometría de las Syzygies" en el Teorema 4.15. Yo no lo entiendo porque este libro tiene mucho de la geometría en sus pruebas. Me puede ayudar a entender? O ¿alguien puede ayudarme a encontrar un lugar más algebraicas versión en otros libros? Gracias.

Answer 1

Yo uso la Bruns y Herzog, Cohen-Macaulay, Anillos, Teorema 4.4.3(b) darse cuenta de que el único no-cero local cohomology módulo se produce por $d=\dim M$.

---

Tal vez un enfoque más sencillo (al menos sin local cohomology).
Uno sabe que $\max\{i\in\mathbb{Z}\colon P_{M}(i)\neq H(M,i)\}=\deg H_M(t)$ (ver Bruns y Herzog, Cohen-Macaulay Anillos, el Ejercicio 4.4.10). Podemos suponer que $K$ es infinita y, a continuación, hay un máximo de $M$-secuencia $x_1,\dots,x_d$ compuesto de elementos homogéneos de grado uno. De Eisenbud, Álgebra Conmutativa, la Proposición 20.20 tenemos $\operatorname{reg}M=\operatorname{reg}M/\underline{x}M$. Por otro lado, $H_{M/\underline{x}M}(t)=(1-t)^dH_M(t)$, lo $\deg H_{M/\underline{x}M}(t)=d+\deg H_M(t)$. Desde $\dim M/\underline{x}M=0$ tenemos $\operatorname{reg}M/\underline{x}M=\max\{i:(M/\underline{x}M)_i\ne 0\}=\max\{i:H(M/\underline{x}M,i)\ne0\}=\deg H_{M/\underline{x}M}(t)$, y hemos terminado.