Distancia (uniformemente) continua

Question

Me han dicho que $$d(x,A) = \inf_{y \in A} |x-y|$$ es uniformemente continua, pero no entiendo ¿por qué? Hay un corto periodo de prueba de esta declaración, o es este un poco más profunda, resultado? Este fue un resultado objeto de mi análisis de la conferencia.

Answer 1

La razón por la $d(x,A)$ es uniformemente continua de la función es la $|d(x,A) - d(y,A)| \le |x -y|$ todos los $x$$y$. Deje $x$ $y$ ser dado. Para cada $z\in A$, $$d(x,A) \le |x-z| \le |x-y| + |y-z|.$$ Thus $d(x,A) - |x-y|$ is a lower bound for the set $\{|y-z|:z\in A\}$. Hence $d(x,A) - |x - y| \le d(y,a)$, i.e., $d(x,A) - d(y,a) \le |x - y|$. A similar argument shows that $d(y,a) - d(x,A) \le |x - y|$. Hence $|d(x,A) - d(y,a)| \le |x - y|$.

Answer 2

$$ d(w,y)\le d(w,x)+d(x,y) $$ $$ \inf_{y\in A} d(w,y) \desbordado{\text{?}} \le \inf_{y\in A}(d(w,x)+d(x,y)) \desbordado{\text{?}}= d(w,x)+\inf_{y\in A} d(x,y) $$

Puede usted, a continuación, mostrar que si $d(w,x)<\varepsilon$$|d(w,A)-d(x,A)|<\varepsilon$?