la desigualdad de dos funciones

Question

Tengo el siguiente problema. Necesito mostrar que $b(i)>b(i-1)^{i-1}$ $i>k$ para algunos $k$. $b$ es el siguiente función: $b(1)=2$ $b(n)=2^{b(n-1)}$

Traté de hacerlo por inducción, pero no funciona: Tome el caso base $k=2$. Entonces funciona.

Inducción de la hipótesis: para $n$ tenemos que $b(n)>b(n-1)^{n-1}$. A continuación, para $b(n+1): b(n+1)=2^{b(n)}$ Desde nuestro IH tenemos que $2^{b(n)} > 2^{b(n-1)^{n-1}}$ Podemos reescribir el término correcto a $b(n)^{n-1}$. Ahora termino con: $b(n+1)>b(n)^{n-1}$, mientras que yo desee $b(n+1)>b(n)^n$.

¿Alguien tiene algún consejo de cómo probar esto?

Answer 1

Observar que $b(n) \geqslant n+1$ por lo tanto $$b(n+1) =2^{b(n)} >2^{b(n-1)^{n-1}} =(2^{b(n-1)})^{b(n-1)^{n-2}} =b(n)^{b(n-1)^{n-2}}\geqslant b(n)^{b(n-1)} \geqslant b(n)^n$$ for $n\geqslant 3.$