Cómo probar esta integral $\int_{0}^{1}\frac{(x-1)dx}{(x+1)\ln{x}}=\ln{\frac{\pi}{2}}$

Question

mostrar que $$I=\int_{0}^{1}\dfrac{(x-1)dx}{(x+1)\ln{x}}=\ln{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}$$

Digo esto integral de fondo,hoy tengo uso de este lobo desempeñar alguna función,y De repente me encontré con este interesante problema

Trato de resolver esto por la mano,

$$\dfrac{x-1}{(x+1)\ln{x}}=(1-\dfrac{2}{x+1})\dfrac{1}{\ln{x}}$$ entonces Es feo entonces $$I=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\ln{x}}dx-\int_{0}^{1}\dfrac{2}{\ln{x}}d\ln{(1+x)}$$

Answer 1

Tenemos: $$ I = \int_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-x}}{1+e^{x}}\frac{dx}{x} = \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-x}}{1+e^{x}}e^{-tx}\,dt\,dx$$ Así: $$ I = \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\left(-H_{(t-1)/2}+2H_{t/2}-H_{(t+1)/2}\right)\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(H_{t/2}-H_{(t-1)/2}\right)\,dt.$$ Una vez que uno se demuestra que: $$\int_{0}^{1/2}H_t\,dt = \frac{1}{2}\left(\gamma+\log\frac{\pi}{4}\right),$$ $$\int_{-1/2}^{0}H_t\,dt = \frac{1}{2}\left(\gamma-\log\pi\right),$$ el resultado de la siguiente manera. La anterior identidades son equivalentes a: $$2\int_{0}^{1/2}\psi(t+1)\,dt = \log\frac{\pi}{4},$$ $$2\int_{-1/2}^{0}\psi(t+1)\,dt = -\log\pi,$$ pero desde $\psi=\frac{d}{dz}\log\Gamma(z)$, tenemos: $$\int_{0}^{1/2}\psi(t+1)\,dt = \log\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)-\log\Gamma\left(1\right),$$ $$\int_{-1/2}^{0}\psi(t+1)\,dt = \log\Gamma(1)-\log\Gamma\left(\frac{1}{2}\right),$$ y hemos terminado.