Si un conjunto es cerrado o no

Question

Denotar por $C_{[0,1]}$ el ternario conjunto de Cantor en $[0,1]$. Ahora considere el $[0,1] \setminus C_{[0,1]}$. Contiene abrir intervalos. Ahora definir conjuntos de Cantor en todos estos intervalos abiertos por la mera traducción y la dilatación de la norma conjunto de Cantor. Denotar como $C_{[a_i,b_i]}$. Ahora es el conjunto $F=C_{[0,1]} \cup \bigcup C_{[a_i,b_i]}$ cerrado?

Yo: quería mostrar que su complemento es abierto. He argumentado que el complemento de $F$ consiste en abrir los intervalos. Por lo $F^c$ se compone de los sindicatos de intervalos abiertos. Por lo tanto $F$ es cerrado. Pero mi profesor dice que no es así. Es a causa de que los intervalos abiertos son cada vez más cada vez? No entiendo donde estoy pasando mal. ¿Puede alguien por favor decirme donde estoy pasando mal. Gracias

Answer 1

Reelaborado solución después de aclarar un malentendido de la pregunta

Tomar un punto de $x \notin F$. A continuación, sobre todo, no es en $C_{[0, 1]}$, por lo que debe ser incluida en algún intervalo abierto $(a, b)$ en el complemento de $C_{[0, 1]}$ (supongamos para simplificar que $(a, b)$ es máxima, por lo que el $a, b \in C_{[0, 1]}$).

Está claro que $F\cap [a, b] = C_{[a, b]}$ es un (traducido y uniforme, se encogen) conjunto de Cantor. Desde $x \notin F$ y, por tanto, no $C_{[a, b]}$, tenemos un intervalo de $(c, d)\subseteq (a, b)$ contiene $x$ que no se intersectan $F\cap[a, b]$. Por lo tanto $(c, d)$ no se cruzan $F$, y desde $x$ fue arbitraria, esto demuestra que $F$ es cerrado.