¿Cómo comprobar si la siguiente función es convexa o no?

Question

Considere la función $$f(x)=\frac{x^{n_{1}}}{1-x}+\frac{(1-x)^{n_{2}}}{x},x\in(0,1)$$ donde $n_{1}$ y $n_2$ son algunos enteros positivos fijos.

Mi pregunta: ¿Es $f(x)$ convexo para cualquier $n_1$ y $n_2$ ?

La segunda derivación de la función $f$ es muy complejo, por lo que me gustaría que existiera otro método para verificar la propiedad convexa.

Answer 1

Un método para demostrar que f es convexa es mostrar $f''(x)>0$ . Hacer los dos términos por separado, se reduce a determinar el signo de un polinomio cuadrático en el numerador.

Answer 2

En matemáticas, una función de valor real definida en un intervalo se llama convexa (o convexa hacia abajo o cóncava hacia arriba) si la gráfica de la función se encuentra por debajo del segmento de línea que une dos puntos cualesquiera de la gráfica. De forma equivalente, una función es convexa si su epígrafe (el conjunto de puntos sobre la gráfica de la función) es un conjunto convexo. En términos más generales, esta definición de funciones convexas tiene sentido para las funciones definidas en un subconjunto convexo de cualquier espacio vectorial.Según wikipedia

Una función de valor real f : X → R definida sobre un conjunto convexo X en un espacio vectorial se llama convexa si, para cualesquiera dos puntos x1,x2 en X y cualquier t pertenece a [0 1] tenemos $f(t*x1+(1-t)*x2)<=(t*f(x1)+(1-t)f(x2))$ ahora vamos a tomar $n1$ y $n2$ algunos valores fijos, digamos 5 y 10, y probarlo