Estoy tratando de averiguar Ejercicio 2.6 en Álgebra Conmutativa por Eisenbud, en la que pide a demostrar el Teorema del Resto Chino para anillos conmutativos.
Ejercicio: Vamos a $R$ ser un anillo conmutativo, y deje $I_1,\ldots,I_d$ ser pares comaximal ideales. Demostrar que $R/\left(\bigcap_{k=1}^d I_k\right) \simeq \prod_{k=1}^d R/I_k$, a través del mapa de $\varphi: R\rightarrow \prod R/I_k$$r \mapsto (r+I_1,\ldots,r+I_d)$.
El núcleo de $\varphi$ es, precisamente,$\bigcap_{k=1}^d I_k$, por lo que el objetivo de la tesis es mostrar que $\varphi$ es surjective. Eisenbud sugerencias para usar su Corolario 2.9, en la que se afirma lo siguiente.
Lema: Vamos a $\varphi:M\rightarrow N$ $R$- módulo homomorphism. A continuación, $\varphi$ es surjective si y sólo si la inducida por el mapa de $\varphi_{\mathfrak{m}} : M_{\mathfrak{m}} \rightarrow N_\mathfrak{m}$ es surjective para cada ideal maximal $\mathfrak{m}$$R$.
(Específicamente, el mapa de $\varphi_\mathfrak{m}$ está dado por $m/u \mapsto \varphi(m)/u$.)
Tengo un par de problemas con esta.
- El lema es una declaración sobre el módulo de homomorphisms, pero el $\varphi$ que aparecen en el Resto Chino Teorema no es un módulo de homomorphism (es un anillo homomorphism). Traté de cambiar el lema a trabajar para el anillo de homomorphisms, pero se encontró con el siguiente problema.
- Incluso si $\varphi:R\rightarrow S$ es un anillo homomorphism, ¿cómo $\varphi_\mathfrak{m} : R_\mathfrak{m} \rightarrow S_\mathfrak{m}$ sentido? Entiendo que usted puede localizar $R$ a un máximo de ideales, pero ¿qué significa "$S_\mathfrak{m}$" significa que cuando $\mathfrak{m}$ es un ideal maximal de a $R$? (Nota: este post, que en realidad le da el error de que el lema para el anillo de homomorphisms, excepto en que contexto nos encargamos de localizar $S$ en un primer ideal de $S$, y, a continuación, localizar $R$ en la preimagen de que el primer ideal.)
En cuanto al segundo comentario de arriba, yo estaba pensando que uno podría ver el $S$ $R$- módulo de $rs:=\varphi(r)s$, $S_\mathfrak{m}$ como la localización de un $R$-módulo por un ideal maximal. Pero, a continuación, en orden de $\varphi_\mathfrak{m}:R_\mathfrak{m}\rightarrow S_\mathfrak{m}$ a ser un anillo homomorphism, uno tiene que decidir cómo $S_\mathfrak{m}$ es un anillo y, a continuación, definir cómo inducir un anillo homomorphism sobre la localización. Esto parece como un montón de Eisenbud para barrer debajo de la alfombra cuando dice a utilizar el Lema para resolver el ejercicio. Por lo que tengo entendido, el anterior lema no es pertinente para el ejercicio.
Me estoy perdiendo algo aquí? Hay una forma inteligente de forma indirecta aplicar el lema?
