Supongamos que tenemos n variables aleatorias uniformes de 0 a 1. La distribución de la media de estas variables se aproxima a la normalidad con el aumento de n según el teorema del límite central. Sin embargo, ¿qué pasaría si en lugar de que todas las variables fueran aleatorias, se garantizara que una de ellas fuera 0 y otra 1? Esto se daría en el siguiente caso: Supongamos que tienes n=7 números generados aleatoriamente del 0 al 1 y que son, de menor a mayor, [.1419 .1576 .4854 .8003 .9572 .9649 .9706]. Si restáramos el número más pequeño a todos los números y luego dividiéramos todos los números por el nuevo máximo, obtendríamos [0 .0189 .4145 .7945 .9838 .9931 1]. De esta manera se tiene un conjunto de n números donde n-2 de ellos son aleatorios y los otros dos están garantizados para ser 0 y 1. Me gustaría saber si el teorema del límite central todavía se aplica a los números generados de esta manera. Mediante una inspección visual con MATLAB, parece que se aproxima a la normalidad más rápidamente que cuando los números son todos aleatorios, pero me gustaría tener una razón matemática de por qué, especialmente teniendo en cuenta que el teorema del límite central establece que todos los números deben ser aleatorios.
Supongamos en cambio que el $X_i$ eran exponenciales iid, desplazadas a la izquierda por $1$ para centrarlos en cero. Entonces el numerador de $z$ convergería a.s. a $1$ mientras que el denominador divergiría a.s., haciendo $z$ convergen a un constante $0$ en lugar de una distribución normal. Por tanto, parece que su razonamiento no es suficiente para demostrar la conclusión.
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Tenga en cuenta que su $n-2$ los números aleatorios también son correlacionado y no necesariamente tienen distribuciones uniformes. Obsérvese también que cualquier constante puede verse como una variable aleatoria (cuyo valor es igual a esa constante en todas partes), así que eso no es un problema.
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Cuando dices "se aplica el teorema central del límite"... pero no está claro a qué lo quieres aplicar. Ten en cuenta que el teorema central del límite habla de la distribución de las medias estandarizadas cuando $\lim_{n\to\infty}$ no es algo que se pueda notar cuando $n=7$ . ¿Cuál es el proceso de limitación que está considerando?
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Sólo elegí n=7 como ejemplo para demostrar cómo estaba manipulando los datos, es decir, restando el mínimo y dividiendo por el nuevo máximo. Cuando digo "se aplica el teorema del límite central" estoy preguntando si el pdf converge a la normalidad con el aumento de n.