Cualquier autohomeomorfismo preservador de la orientación de $S^2$ es isotópico a la identidad

Question

Quiero demostrar que cualquier auto-homeorfismo preservador de la orientación de una 2-esfera $S^2$ es isotópico a la identidad.

Se agradece cualquier ayuda o referencia.

Edita; Quiero mostrar esto para demostrar lo siguiente. Supongamos que tenemos dos toros sólidos y tenemos un homeomorfismo de los límites. La variedad obtenida al identificar los límites mediante el homeomorfismo depende sólo de la imagen del meridiano. Para demostrarlo, recorta primero la vecindad cilíndrica de un meridiano y pégala al otro toro sólido. El recordatorio es homeomorfo a $B^3$ . Así que si puedo probar la pregunta anterior, puedo terminar esta prueba.

Answer 1

Esto se demuestra para los difeomorfismos en el siguiente artículo:

Earle, C.J. y Eeels, J. "The Diffeomorphism Group of a Compact Riemann Surface". Toros. Amer. Math. Soc. 73 (1967) 557-559.

En particular, este trabajo demuestra que el espacio de difeomorfismos conservadores de la orientación de $S^2$ que fijan tres puntos en el círculo es contractible. Nótese que un camino en el espacio de los difeomorfismos es precisamente una isotopía.

No conozco una referencia que extienda esto a los homeomorfismos -- necesitaríamos una prueba de que todo homeomorfismo es isotópico a un difeomorfismo.

Answer 2

¡ecce respuesta!

https://mathoverflow.net/questions/39403/connectivity-of-the-group-of-orientation-preserving-homeomorphisms-of-the-sphere

Creo que el caso bidimensional es mucho más fácil.