El teorema de Riemann-Roch es un resultado sobre las superficies de Riemann que se extendió al teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, un resultado sobre los complejos complejos compactos. El teorema del índice de Hodge es un resultado sobre las superficies de Riemann (solo me preocupa el caso complejo) que se ha demostrado utilizando Riemann-Roch. ¿Se ha utilizado el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch para extender el teorema del índice de Hodge a un resultado sobre variedades complejas compactas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
BZ.
Puntos
188
Complementando Andrea de la publicación: la respuesta a la pregunta que se afirma es que no. En efecto, la prueba de la Hodge fórmula del índice de Kaehler colectores utiliza el fuerte Lefschetz de descomposición, que no existe para arbitrario complejo de colectores.
Un contra-ejemplo en la analítica caso está dada por la superficie de Hopf $H$, que es el cociente de $\mathbf{C}^2$ menos el origen por el grupo generado por $(x,y)\mapsto (2x,2y)$. De hecho, no es demasiado difícil mostrar que $H$ no admitir un holomorphic 1-forma, es decir,$h^{1,0}(H)=0$. Es un no-trivial teorema (Barth, Peters, van de Ven, Compacto superficies complejas, p. 117) que la Hodge de de Rham espectral de la secuencia de cualquier superficie compleja degenera en $E_1$. El uso de este y de la dualidad de Serre se pueden calcular todos los demás Hodge números de $h^{p,q}(H)$, que resulta ser de 1 $(p,q)=(0,0),(0,1),(2,1),(2,2)$ y cero en caso contrario. Conectar esta en el lado derecho de la fórmula del índice, conseguimos 4. Por otro lado, $H$ es diffeomorphic a$S^1\times S^3$$H^2(H,\mathbf{R})=0$.
El teorema de índice de Hodge es un resultado en múltiples compactos de Kahler de dimensión compleja 2n.
Indica que la firma del formulario de intersección en$H^{2n}(X, \mathbb{R})$ es igual a$\sum (-1)^a h^{a, b}(X)$, donde$h^{a, b}$ son los números de Hodge.
Ver Voisin, teoría de Hodge y geometría algebraica compleja I, teorema 6.33
Por cierto, el resultado que probablemente tenga en mente es en superficies complejas, que NO son superficies de Riemann (estas son curvas complejas).
