Intuición de la relación entre el volumen y la superficie de un $n$ -esfera

Question

El volumen de un $n$ -esfera de radio $R$ es

$$V_n(R) = \frac{\pi^{n/2} R^n}{\Gamma(\frac{n}2+1)}$$

y la superficie es

$$S_n(R) = \frac{2\pi^{n/2}R^{n-1}}{\Gamma(\frac{n}2)} = \frac{n\pi^{n/2}R^{n-1}}{\Gamma(\frac{n}2+1)} = \frac{d V_n(R)}{dR}$$

¿Cuál es la intuición de esta relación entre el volumen y la superficie de un $n$ -¿Esfera? ¿Está relacionado con el hecho de que la $n$ -esfera es la forma más compacta en $n$ dimensiones, o es una mera coincidencia?

¿Existen otras formas para las que se mantiene, o es éste el caso límite de una relación de desigualdad? Por ejemplo, un $n$ -cubo de lado $R$ tiene volumen $V^c_n(R)=R^n$ y la superficie $S^c_n(R)=2nR^{n-1}$ para que

$$\frac{dV^c_n(R)}{dR} = n R ^{n-1}$$

y tenemos $S^c_n = 2 dV^c_n/dR$ .

Editar: Como señala Rahul Nahrain en los comentarios, si definimos $R$ para que sea la longitud de la mitad del lado del cubo unitario en lugar de la longitud del lado, entonces tenemos la relación $S^c_n(R)=\frac{d}{dR} V^c_n(R)$ exactamente como para la esfera. ¿Existe algún sentido en el que se puedan establecer relaciones como ésta para una gran clase de formas?

Answer 1

Hay una explicación geométrica muy sencilla para el hecho de que la constante de proporcionalidad sea 1 para el radio de la esfera y la media anchura del cubo. De hecho, esta relación también permite definir una noción sensata de "media anchura" de un $n$ -forma dimensional.

Elige una forma arbitraria y un punto $O$ en su interior. Supongamos que se amplía la forma en un factor $\alpha \ll 1$ manteniendo $O$ arreglado. Cada elemento de superficie con área $dA$ en una posición $\vec r$ en relación con $O$ se extruye en una forma aproximada de prisma con área de base $dA$ y el desplazamiento $\alpha \vec r$ . El volumen adicional correspondiente es $\alpha \vec r\cdot \vec n dA$ , donde $\vec n$ es el vector normal en el elemento de la superficie.

Ahora la cantidad $\vec r \cdot \vec n$ Llámalo el distancia proyectada tiene una interpretación geométrica natural. Es simplemente la distancia entre $O$ y el plano tangente en el elemento de superficie. (Obsérvese que para una esfera con $O$ en el centro, siempre es igual al radio, y para un cubo con $O$ en el centro, siempre es igual a la distancia del centro a cualquier cara).

Dejemos que $\hat r = A^{-1} \int \vec r \cdot \vec n dA$ sea la distancia media proyectada sobre la superficie de la forma. Entonces, el cambio de volumen por una escala de $\alpha$ es simplemente $\delta V = \alpha \int \vec r\cdot \vec n dA = \alpha \hat r A$ . En otras palabras, un cambio de $\alpha \hat r$ en $\hat r$ corresponde a un cambio de $\alpha \hat r A$ en $V$ . Por lo tanto, si utiliza $\hat r$ como la medida del tamaño de una forma, se encuentra que $dV/d\hat r = A$ . Y como $\hat r$ es igual al radio de una esfera y a la media anchura de un cubo, por lo que se deduce la observación en cuestión. Esto también implica la medida de distancia a la cara para los politopos regulares que mencionó user9325, pero se generaliza a otros politopos y formas curvas. (No estoy del todo satisfecho con la definición de $\hat r$ porque no es obvio que sea independiente de la elección de $O$ . Si alguien puede ver una definición más natural, por favor hágamelo saber).

Answer 2

Algunas observaciones:

1. No es necesario considerar los sólidos que se generalizan a $n$ dimensiones, por lo que se puede empezar con formas en 2 dimensiones.

2. Es muy natural utilizar siempre un parámetro de tipo radio para escalar la figura porque la intuición es que la figura obtiene anillos de crecimiento que tienen el tamaño de la superficie.

3. Por desgracia, la propiedad deja de ser cierta si se sustituye un cuadrado por un rectángulo o un círculo por una elipse.

4. Para un polígono regular, siempre se puede tomar como parámetro la distancia a una arista. Esto funcionará de forma similar para los sólidos platónicos o cualquier polígono/poliedro que contenga un punto que sea equidistante a todas las caras.

5. Este argumento no parece bueno para las curvas generales, porque intuitivamente los bordes de una curva suave son infinitesimalmente pequeños, por lo que el centro debería ser equidistante a todos los puntos, pero por supuesto, podríamos identificar casos en los que el grosor cambiante del anillo de crecimiento se promedia.

Answer 3

Lo que ves con las esferas es un ejemplo de algo muy importante llamado fórmula del coárea. Estás viendo una función como $f(x,y,z) = r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ y estás comparando los volúmenes de los conjuntos de contornos inferiores $f(x,y,z) \leq R$ (en este caso son bolas) a las zonas de los conjuntos de niveles $f(x,y,z) = R$ .

En el caso de los cubos, estás considerando una función diferente cuyos conjuntos de niveles son cubos.

La fórmula del coárea dice que (con algunas suposiciones que hacen que ambos lados tengan sentido),

$Vol(f(x, y, z) \leq R) = \int_{-\infty}^R \left[ \int_{f(x,y,z) = t} |\nabla f|^{-1} d\sigma \right] dt $

También se puede diferenciar esta fórmula con respecto a $R$ para obtener la forma diferencial que estabas observando.

Sólo como una comprobación ficticia, observe que $t$ tiene las mismas unidades que $f$ Así que si piensas en $f$ y las coordenadas como si tuvieran unidades, el análisis dimensional se verifica y ambos lados tienen unidades de "longitud^3". (La fórmula también es válida en dimensiones superiores).

En los ejemplos que has dado, el gradiente de $f$ tiene una longitud $1$ Así que cuando integras $1$ sobre los conjuntos de niveles $\{f(x, y, z) = t \}$ sólo tienes la superficie.

La prueba de esta fórmula se reduce a preguntar "¿cuál es la diferencia entre $Vol( f(x,y,z) \leq R )$ y $Vol(f(x,y,z) \leq R + h$ si $h$ es pequeño". Las dos regiones son muy parecidas y sólo se diferencian en el límite $f(x,y,z) = R$ . Esto es particularmente claro en el caso de una esfera. Si se piensa en una pequeña porción de ese límite de "ancho" $d\sigma$ en las direcciones de la constante $f$ entonces la diferencia de las dos regiones tiene la altura $~ \frac{h}{|\nabla f|}$ en la dirección de aumentar $f$ .

Otra comprobación falsa: La inversa tiene sentido porque si $f$ está aumentando muy rápidamente, entonces el aumento del valor de $f$ apenas aumentará la región $\{ f(x,y,z) \leq R \}$ .

Tenga en cuenta que el enunciado de la coárea es realmente un enunciado sobre la función y no sólo sobre las formas de los conjuntos de niveles -- usted está preguntando sobre el parámetro $R$ con la que se etiquetan estos conjuntos de niveles, pero podría elegir una función diferente (como $\tilde{f} = e^f$ que tiene los mismos conjuntos de niveles pero los etiqueta de forma diferente.