Me encontré con la siguiente familia de integrales logarítmicas trignométricas:$$ F(t) := \frac{3}{2\pi^3} \int_0^{2\pi} \log(2(1 + cos \theta)) \log(2 (1 + \cos(\theta + t))) d\theta.$ $ Aparece$F(0) = 1$ y$F(\pi) = -1/2$. Me pregunto si ha cerrado la fórmula de formulario para otros valores de$t$. A través del teorema del límite central, esto está estrechamente relacionado con este interesante problema de probabilidad .
Respuesta
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Tenga en cuenta que $$\log(2(1+\cos x))=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\cos nx}{n}.$$ Por lo tanto $$\eqalign{\log(2(1+\cos \theta)) y=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\cos n\theta}{n}\cr \log(2(1+\cos (\theta+t)) y=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\cos nt}{n}\cos n\theta-2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\pecado nt}{n}\sin n\theta }$$ El uso de Bessel-Parseval vemos que la integral se puede escribir de la siguiente manera $$\forall\t\en [0,2\pi],~F(t)=\frac{6}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos n t}{n^2}= 1 - \frac{3}{\pi}t + \frac{3}{2\pi^2} t^2.$$ La última igualdad se sigue de la conocida expansión en serie de fourier de los Polinomios de Bernoulli, para más detalles ver aquí.
