Siempre me he preguntado sobre las matemáticas detrás del Teorema de Bayes porque parece muy simple y parece que probablemente haya una explicación simple detrás de él. No entiendo la relación entre P (A y B) sobre P (B) y por qué esto significa "La probabilidad de A dado B."
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Aquí es muy informal justificación, incompleto, pero espero que útil.
Supongamos que vamos a entrevistar a $1200$ de las personas, de los cuales, $700$ son mujeres. Supongamos que $500$ de las mujeres usan para viajar en transporte para llegar al trabajo. Elija uno de los entrevistados al azar. Deje $B$ ser el caso de "la persona elegida es una mujer" y deje $A$ ser el caso de "la persona elegida de tránsito utiliza para ponerse a trabajar". Por lo $P(A|B)$ es la probabilidad de que la persona elegida usos de tránsito, dado que la persona es una mujer.
Vamos a resolver el problema directamente. Hay $700$ en la muestra de mujeres, de los cuales, $500$ uso de tránsito para llegar a su trabajo. Así que, dado que la información que la persona elegida es una mujer, se buscan sólo en la parte de la muestra el espacio que se compone de las mujeres. Así con eficacia el espacio muestral se ha restringido a la $700$ mujeres, y por lo tanto $P(A|B)=\frac{500}{700}$.
La fórmula $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ da exactamente la misma respuesta. Esto es debido a que $P(A\cap B)=\frac{500}{1200}$, e $P(B)=\frac{700}{1200}$. Cuando dividimos la $1200$'s "cancelar".
Dilip Sarwate
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La teoría de la probabilidad es un modelo matemático para explicar la estadística de la regularidad observada en la vida real, y sus axiomas y definiciones elegido para reflejar este regularidad. Supongamos que un experimento es repetido $N$ veces (ensayos independientes). Entonces, la observó frecuencias relativas son una medida de probabilidad, es decir, satisfacer los axiomas de la probabilidad. Por lo tanto, hemos establecido $P(A) = \frac{N_A}{N}$ si $A$ se observa que se han producido en $N_A$ ensayos de la $N$ ensayos. Ahora considere la posibilidad de eventos $A$, $B$, y $A\cap B = AB$ a partir de cuya observado frecuencias relativas escribimos $$\begin{align*} P(A) &= \frac{N_A}{N},\\ P(B) &= \frac{N_B}{N},\\ P(AB) &= \frac{N_{AB}}{N}. \end{align*}$$ Dado que el evento $B$ ha ocurrido, lo que deberíamos definir como la probabilidad condicional $P(A|B)$ $A$ $B$ ? Si limitamos nuestra atención a la $N_B$ ensayos sobre la que $B$ ocurrió, ¿cuál es la frecuencia relativa de $A$ estos $N_B$ de las pruebas? Claramente, $A$ debe se han producido en $N_{AB}$ estos $N_B$ ensayos desde cualquier juicio en el que tanto en $A$ $B$ han producido debe ser un juicio en el que $B$ se ha producido. Así, una razonable asignación de valores de probabilidad es $$P(A|B) = \frac{N_{AB}}{N_B} = \frac{\frac{N_{AB}}{N}}{\frac{N_B}{N}} = \frac{P(AB)}{P(B)}.$$ La definición formal de la probabilidad condicional como el de más a la derecha de la expresión anterior es motivado por este desarrollo. Las probabilidades no necesita y no debe ser definido en términos de la relación de las frecuencias, pero el comportamiento de las frecuencias relativas es el de la vida real situación que la teoría de la probabilidad busca modelo. Si no fuera así, la teoría de la probabilidad sería de matemáticas en su estado más puro, un pequeño parte de la teoría de la medida, con poca relevancia para los problemas del mundo real.
