Detalle sobre espacios tangentes y variedades duales de la geometría algebraica de Harris: un primer curso

Question

En Harris Geometría Algebraica: el Primer Curso, el Ejemplo 16.20, el autor muestra que el dual del dual variedad $X^{*}$ es la variedad original $X$. Creo que en el capítulo 15, Harris menciona que él va a estar trabajando en el carácter 0 en los capítulos posteriores.

Yo podría haber perdido más, pero, si asumimos $X_{sm}\subset X$ $X_{sm}^{*}\subset X$ son densos, el único lugar al que puedo ver cuando se utiliza la característica cero es donde vamos a $\Phi$ es el cierre de $\tilde{\Phi}:=\{(p,H):p\in X_{sm}, H\supset T_pX\}$$X\times X^{*}$, y afirmó que con la Proposición de 14,4 que las proyecciones de $\pi_1: \Phi\rightarrow X$ $\pi_2: \Phi\rightarrow X^{*}$ son surjective en tangente espacios de manera genérica.

1) Es cierto que los mapas de $\pi_1$ $\pi_2$ son surjective en tangente espacios de forma genérica en general característica? Ya que los mapas son la proyección de variables de distancia, tal vez, las patologías relacionadas a la característica $p$ no sucederá.

2) En general característica, si $X_{sm}$ es un denso conjunto abierto en $X$$(X^{*})^{*}=X$? Puede algo raro como $X_{sm}\subset X$ es densa, pero $X_{sm}^{*}\subset X^{*}$ está vacía suceder?

3) por último, hay una buena referencia para la prueba de que $(X^{*})^{*}=X$ si estoy interesado en las curvas planas (pero completamente la prueba de álgebra, no uno donde parametrizar la curva de más de $\mathbb{C}$)?

Answer 1

Teorema 8.13 de este texto (que está en español) muestra que $C=C^{**}$ a un avión curva algebraica $C\subseteq\mathbb{P}^{2}$. La idea es la siguiente:

Deje $a\in C$ ser un punto suave. A continuación, $T_{a}C\in C^{*}$ como un punto en $(\mathbb{P}^{2})^{*}$. Vamos a considerar el conjunto de líneas de $(\mathbb{P}^{2})^{*}$ que pasa a través de $T_{a}C\in(\mathbb{P}^{2})^{*}$. Echando un vistazo a la multiplicidad de intersección de cada uno de los con $C^{*}$$T_{a}C$, se puede ver que $T_{T_{a}C}C^{*}=\{L\in(\mathbb{P}^{2})^{*}:p\in L\}$, que es una línea de $(\mathbb{P}^{2})^{*}$, es decir, un punto de $(\mathbb{P}^{2})^{**}$. De hecho, con la identificación de $(\mathbb{P}^{2})^{**}$$\mathbb{P}^{2}$,$p=\{L\in(\mathbb{P}^{2})^{*}:p\in L\}$. En consecuencia, $p\in C^{**}$. Esto implica $C\subseteq C^{**}$, y por lo tanto $C=C^{**}$ ya que son irreductibles proyectiva conjuntos de la misma dimensión.