Ceros de la transformada de Fourier de funciones de bump

Question

$f(x)$ es una 1D golpe función que real, incluso y de manera compacta, apoyado en el intervalo de $[-a,a]$, y estrictamente positivo dentro de ese intervalo.

¿Hay garantías en la transformada de Fourier de $f(x)$,

$$ \hat{f}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \exp(-2 \pi i x s) dx $$

tener al menos una raíz en el intervalo de $[-\frac{1}{a},\frac{1}{a}]$? Dado que el $f(x)$ es real e incluso, $|\hat{f}(s)|$ también será real, y mi intuición me lleva a creer que el anterior es cierto, pero yo no encuentro ninguna teorema relacionados con ella.

He movido el seguimiento pregunta a una nueva página para que yo pudiera marcar la respuesta a la primera aquí.

Answer 1

La función

$$ f(x) = \begin{cases} (1 + \cos x)^2 & -\pi < x < \pi, \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$

es real, incluso, de forma compacta compatible, estrictamente positiva en el interior de su apoyo, y tiene tres continuo derivados.

Su transformada de Fourier,

$$ \hat f(s) = \frac{3\sin(2\pi^2 s)}{2\pi s(1-\pi^2 s^2)(1 a 4\pi^2 s^2)}, $$

es estrictamente positiva en $[-1/\pi,1/\pi]$.

A mí me parece que nos podemos encontrar en un $C^\infty$ bump función arbitrariamente cerca de $f$, y sin duda lo suficientemente cerca para que su transformada de Fourier es estrictamente positiva en $[-1/\pi,1/\pi]$.