¿Es el espacio de$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ más grande que el espacio de todas las funciones discretas?

Question

Supongamos que tenemos algún general de la función discreta ${0,1,2,....n}\to\mathbb{R}$.

Para cada número que tienen un valor real.

Vamos a infinito aumento de número de $n$ (valor entero), para aproximar $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ función.

Como yo lo entiendo es sólo una aproximación, incluso, en el límite, ¿no?

Incluso si me cubra todos los valores enteros en el límite es genial, pero todavía tenemos que $\mathbb{N}\ne\mathbb{R}$

(Cantor Diagonal del argumento )

De modo que el espacio de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es más enorme, a continuación, el espacio de todas las funciones discretas? ¿No es así?

(p.s. mi experiencia: yo no estoy familiarizado con el funcional-análisis)

Answer 1

Si usted tiene una función de $f\colon\{0,1,2,\dots,n\}\to\mathbb{R}$, se puede considerar que las par $(n,\hat{f})$ donde $\hat{f}\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ está definido por $$ \hat{f}(k)= \begin{cases} f(k) & \text{if %#%#%} \\[4px] 0 & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ Si $0\le k\le n$ es el conjunto de "funciones discretas", se obtiene un inyectiva mapa de $k>n$$\mathscr{D}$. Por lo tanto $$ |\mathscr{D}|\le|\mathbb{N}\times\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|= \aleph_0\cdot (2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0} $$ Por otro lado, $$ |\mathbb{R}^{\mathbb{R}}|=(2^{\aleph_0})^{2^{\aleph_0}}=2^{2^{\aleph_0}} $$ y, por Cantor del teorema, $$ 2^{\aleph_0}<2^{2^{\aleph_0}} $$

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta, pero una sugerencia sobre lo que en realidad se debe estar preguntando. Espero que sea útil.

Si entiendo tu pregunta correctamente, se preguntan si el conjunto de funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es de mayor cardinalidad que el conjunto de funciones de $g : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ (o el conjunto de funciones de $h : A \to \mathbb{R}$, $A$ un conjunto finito, no estoy exactamente seguro de que por la lectura de la pregunta).

Una función de $f : A \to B$ es un elemento de la siguiente producto Cartesiano: $$f \in \prod \limits_{a \in A} B = B^A.$$ Por lo tanto, lo que quiero mirar es la cardinalidad de dicho producto. Lo siento, pero no tengo ninguna idea de lo que esos cardinalidades son: Usted necesita preguntar a alguien más sabio en la teoría de conjuntos.

El punto de mi respuesta es que debes olvidarte de esos límite de las cosas, ya que este es, fundamentalmente, un conjunto teórico de la cuestión. Específicamente, una pregunta sobre la cardinalidad de ciertos productos.