Motivado por mi ignorancia aquí , si$X$ es una variedad tórica proyectiva, es $$ H ^ m (X, \ mathcal O_X) \ cong \begin{cases} 0 & m > 0 \\ \mathbb C & m = 1 \end {cases} $$ como para$\mathbb P^n$ ?
Respuesta
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Sí, esto es cierto, al menos para las variedades sobre los números complejos $\mathbb{C}$. De hecho, un tóricas variedad, más de un algebraicamente cerrado de campo es racional (es decir, birational para proyectiva del espacio). En característica cero, racional, de conexión, es un birational invariante, por lo que tóricas variedades son racionalmente conectada. Finalmente, cualquier racionalmente conectada variedad es $\mathcal{O}$-acíclicos, que es el nombre de la conclusión a la que usted desea. Ver, por ejemplo, aquí por esta última implicación.
La conclusión podría tener más en general, yo no soy un experto en estas cuestiones. Usted puede preguntar a su pregunta sobre MathOverflow si usted no está satisfecho con esta respuesta.
