Creo que ya sé que hubo momentos en el pasado, cuando era conveniente buscar en un número $1$ como un número primo, y, tan lejos como puedo recordar, incluso entonces era dependiente en la que pedimos es primo, o no?
Esta pregunta es principalmente aquí porque en algunas de las preguntas que he publicado en los últimos días he querido que para el propósito de la pregunta, considera $1$ como la primera, o por alguna otra razón similar.
Así que, veamos por qué, en mi opinión, debemos tomar las $1$ como la primera, y por qué no deberíamos.
En primer lugar, la definición de los números primos como se ha visto en la Wikipedia:
Un número primo (o primer) es un número natural mayor que 1 que no tiene divisores positivos distintos de 1 y sí mismo.
Si interpretamos aquí esta mayor como $n \in \mathbb N \setminus \{1\}$, en otras palabras, como estrictamente mayor, entonces claramente $1$ no puede ser un primo porque es, por definición, no se toman en consideración.
Si cambiamos la definición y eliminar la parte de la sentencia, la parte mayor que 1, entonces tenemos esta definición:
Un número primo (o primer) es un número natural que no tiene divisores positivos distintos de 1 y sí mismo.
Entonces podríamos decir que el $1$ es primo, porque él no tiene otros divisores positivos distintos de 1 y sí mismo, y que tiene dos divisores que coinciden y son iguales a $1$ (a 1 y a sí mismo).
Pero, ¿hemos de tropezar con algún problema si declaramos $1$ prime?
Sí, lo hacemos, pero todos estos problemas (que yo sepa) no son tan graves.
En primer lugar, debemos reformular el teorema fundamental de la aritmética , que dice que:
Cada entero positivo $n>1$ puede representar exactamente de una manera como un producto de primer poderes.
Si tomamos $1$ como primer entonces el teorema fundamental de la aritmética se puede expresar como:
Cada entero positivo $n>1$ puede representar exactamente de una manera como un producto de primer poderes en tal forma que en la factorización de $n$ poderes de número de $1$ están ausentes.
Esto es debido a que tenemos $1^a=1^b$ $a \neq b$ así que si queremos única factorización, a continuación, los poderes de $1$ debe estar ausente de la factorización.
Pero, ¿ganamos algo positivo si declaramos $1$ como número primo?
Creo que hacer.
Por ejemplo, la conjetura de Goldbach estados:
Todo entero par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos.
Si hemos de declarar $1$ como primer podríamos acortar la conjetura de Goldbach:
Cada número natural se puede expresar como la suma de dos números primos.
Por supuesto, esto es debido a que $1+1=2$ así que ahora, incluso dos tiene una representación como una suma de dos números primos.
Pero en este caso tendríamos aún más. Ahora, cuando $1$ es tomado como un número primo, entonces tenemos un poco mayor probabilidad de que cada número natural se puede expresar como una suma de dos primos, porque ahora podemos considerar las sumas de la forma $2n=(2n-1)+1$ y no podemos considerar a la hora de no tomar las $1$ como una de las principales.
Parece (pero puedo estar equivocado), que es la materia de acuerdo entre los matemáticos deberíamos o no deberíamos tomar $1$ como un número primo.
Así, tengo un par de preguntas:
1) ¿hay algún problema grave o inconsistencia en el interior de matemáticas si tomamos $1$ como un número primo (no sólo en el de re-escritura de los teoremas/lemas/conjeturas/definiciones de una manera diferente)?
2) Deberíamos o no deberíamos tomar $1$ como un número primo?
3) ¿Puede dar algunos otros ejemplos de conjeturas de que sería mejor tomar $1$ como un primo?
4) ¿cuáles son sus pensamientos sobre esto?
