Yo estaría interesado en saber si hay problemas que son más fáciles de resolver en una dimensión superior, es decir, el uso de soluciones en una dimensión superior que no tienen igualmente un óptimo contraparte en una dimensión inferior, particularmente común (o común) de la geometría y de la matemática discreta problemas.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Los besos problema de número de pregunta cuántas unidad de esferas al mismo tiempo puede tocar una cierta otra unidad de la esfera, en $n$ dimensiones.
El $n=2$ de los casos es fácil; el $n=3$ de los casos fue un famoso problema abierto durante 300 años; el $n=4$ caso sólo fue resuelto hace un par de años, y el problema sigue abierto para $n>4$... a excepción de$n=8$$n=24$. El $n=24$ caso es (relativamente) simple debido a la existencia de los 24 dimensiones de la Sanguijuela de celosía, que debe su existencia al hecho milagroso que $$\sum_{i=1}^{\color{red}{24}} i^2 = 70^2 .$$ The Leech lattice has a particularly symmetrical 8-dimensional sublattice, the $E_8$ lattice and this accounts for the problem being solved for $n=8$.
Hay un montón de tipos similares de embalaje problemas que están sin resolver, excepto en 8 y 24 dimensiones, por razones similares.
Martin
Puntos
2000
Un ejemplo en ecuaciones en derivadas parciales es de Kirchhoff de la fórmula para la solución del problema de valor inicial para una ecuación de onda: \begin{equation} \begin{cases} \partial^2_t u - \Delta u = 0 & x \in \mathbb{R}^n,\ t \in \mathbb{R} \\ u(0,x) = g(x) \\ \partial_t u (0, x) = h(x) \end{casos} \end{equation} En la dimensión espacio - $n=3$ es relativamente fácil derivar la fórmula \begin{equation}\tag{1} u(t,x)=\frac{1}{4\pi t^2} \int_{\partial B(x;t)} \big[ t\cdot h(y) + g(y) + \nabla g(y)\cdot (y-x) \big]\, dS(y) \end{equation} que expresa la solución en términos de los datos iniciales. $^{[1]}$ No puede decirse lo mismo de la dimensión $n=2$, sin embargo. De hecho, el método habitual para recuperar una fórmula análoga a la (1) en el caso bidimensional se llama método de descenso y funciona mediante la incorporación de las dos dimensiones de la ecuación en el espacio tridimensional y, a continuación, utilizando la fórmula (1).
$^{[1]}$ Uno puede explotar simetrías o el uso de la transformada de Fourier. Para el primer método uno puede consultar, entre otros, Evans, ecuaciones diferenciales Parciales, capítulo 2. Para el segundo método, uno puede consultar, entre otros, Folland del Análisis Real, el capítulo "Temas en el análisis de Fourier".
